เครื่องแก้สมการ

Q: ค่าดิสคริมิแนนต์คืออะไร?

ค่าดิสคริมิแนนต์ (b² - 4ac) กำหนดลักษณะของคำตอบของสมการกำลังสอง ค่าบวกหมายถึงคำตอบจริงสองค่า ค่าเท่ากับศูนย์หมายถึงคำตอบซ้ำหนึ่งค่า และค่าลบหมายถึงไม่มีคำตอบจริง (จำนวนเชิงซ้อน)

Q: เครื่องมือนี้จัดการสมการที่ไม่มีคำตอบได้หรือไม่?

ได้ สำหรับสมการเช่น 0x = 5 (ไม่มีคำตอบ) หรือ 0x = 0 (มีคำตอบไม่จำกัด) เครื่องมือจะแสดงผลลัพธ์ที่เหมาะสม

Q: จะแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรอยู่ทั้งสองข้างได้อย่างไร?

รวมพจน์ตัวแปรไว้ข้างหนึ่งและพจน์คงที่ไว้อีกข้างหนึ่ง สำหรับ 3x + 6 = 2x + 10 ให้ลบ 2x ทั้งสองข้างจะได้ x + 6 = 10 จากนั้นลบ 6 จะได้ x = 4 ต้องทำให้สมการสมดุลเสมอ: ทำอะไรกับข้างหนึ่งก็ต้องทำกับอีกข้างหนึ่งด้วย ตรวจสอบโดยแทน x = 4 กลับเข้าไป: 3(4) + 6 = 18 และ 2(4) + 10 = 18 ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง

Q: รากซ้ำสำหรับสมการกำลังสองหมายความว่าอะไร?

รากซ้ำเกิดขึ้นเมื่อตัวจำแนก b² - 4ac เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองมีคำตอบหนึ่งค่าแต่นับสองครั้ง และกราฟของฟังก์ชันจะสัมผัสแกน x เพียงจุดเดียวแทนที่จะตัดผ่าน ตัวอย่างเช่น x² + 2x + 1 = 0 แยกตัวประกอบได้ (x + 1)² = 0 ดังนั้นรากคือ x = -1 ซ้ำสองครั้ง

Q: ทำไมตัวจำแนกที่เป็นลบจึงให้คำตอบเชิงซ้อน?

เมื่อ b² - 4ac เป็นลบ รากที่สองในสูตรกำลังสองไม่มีค่าเป็นจำนวนจริง ดังนั้นคำตอบจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องกับหน่วยจินตภาพ i = √(-1) สำหรับ x² + 4x + 13 = 0 ตัวจำแนกคือ 16 - 52 = -36 ได้ x = [-4 ± √(-36)] / 2 = -2 ± 3i รากเชิงซ้อนสองค่าจะเป็นคู่สังยุคเสมอ ซึ่งสะท้อนว่ากราฟของพาราโบลาไม่เคยตัดแกน x

Q: กราฟของสมการบอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบของสมการ?

คำตอบจริงก็คือจุดตัดแกน x ที่กราฟตัดผ่านแกน x นั่นเอง เส้นตรงตัดแกนหนึ่งครั้งหมายถึงหนึ่งราก พาราโบลาที่ตัดแกนสองครั้งมีสองรากที่แตกต่างกัน พาราโบลาที่สัมผัสแกนเพียงครั้งเดียวมีรากซ้ำ และพาราโบลาที่อยู่เหนือหรือใต้แกนทั้งหมดไม่มีรากจริง (มีแต่รากเชิงซ้อน) จุดตัดแกน y คือจุดที่กราฟพบกับแกน y ที่ x = 0

Q: เครื่องมือนี้จัดการกับพหุนามดีกรีสามและดีกรีสูงกว่าได้หรือไม่?

ได้ สมการกำลังสามจะถูกจัดให้อยู่ในรูปมาตรฐานและแก้ด้วยการทดสอบรากตรรกยะร่วมกับวิธีการประมาณเชิงตัวเลขเมื่อไม่สามารถหารากที่แน่นอนได้ พหุนามดีกรีสูงกว่าที่แยกตัวประกอบไม่ได้อย่างสมบูรณ์จะใช้การหารากเชิงตัวเลขแทน ซึ่งให้คำตอบประมาณที่แม่นยำแทนที่จะล้มเหลว

Q: ความแตกต่างระหว่างเอกลักษณ์และข้อขัดแย้งคืออะไร?

เอกลักษณ์คือสมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปร เช่น 0x = 0 หรือ x + x = 2x จึงมีคำตอบไม่จำกัดจำนวน ข้อขัดแย้งคือสมการที่ไม่เป็นจริงสำหรับค่าใดเลย เช่น 0x = 5 จึงไม่มีคำตอบเลย เครื่องแก้สมการแยกแยะกรณีเหล่านี้และบอกคุณว่าคุณกำลังดูสมการประเภทใด

Q: เครื่องมือจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นอย่างไร?

ระบบ 2×2 หรือ 3×3 จะเขียนในรูป Ax = b และแก้ด้วยการกำจัดแบบเกาส์ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์บอกผลลัพธ์: ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์หมายถึงมีคำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำใคร ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด และเครื่องแก้สมการจะรายงานว่ากรณีใดใช้ได้

Q: ฉันสามารถแก้สมการที่มีเศษส่วนหรือสัมประสิทธิ์ทศนิยมได้หรือไม่?

ได้ คุณสามารถป้อนเศษส่วนและทศนิยมได้โดยตรง เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณด้วยมือ ให้คูณทุกพจน์ด้วยตัวหารร่วมน้อยเพื่อกำจัดเศษส่วน หรือคูณทศนิยมด้วยกำลังของ 10 ก่อน ตัวอย่างเช่น 0.5x + 1 = 3 จะกลายเป็น x + 2 = 6 หลังจากคูณด้วย 2 ได้ x = 4

ติดโจทย์พีชคณิตใช่ไหม? ป้อนสมการเชิงเส้นหรือสมการกำลังสอง แล้วรับคำตอบพร้อมขั้นตอนการแก้แบบทีละขั้นตอน — ไม่ใช่แค่ผลลัพธ์ แต่เห็นชัดเจนว่าคำนวณมาได้อย่างไร

เครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ไหม?

เครื่องแก้สมการ คืออะไร?

เครื่องแก้สมการค้นหาค่าตัวแปรที่ทำให้สมการทางคณิตศาสตร์เป็นจริง ตั้งแต่สมการเชิงเส้นอย่างง่ายไปจนถึงสมการกำลังสองและพหุนามที่ซับซ้อน เครื่องมือนี้ช่วยให้คุณแก้ปัญหาพีชคณิตได้อย่างรวดเร็วและแม่นยำ ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่กำลังตรวจการบ้าน ครูที่กำลังเตรียมบทเรียน หรือมืออาชีพที่กำลังแก้ปัญหาในโลกจริง เครื่องแก้สมการเป็นเครื่องมือที่ขาดไม่ได้ สมการเชิงเส้น (ax + b = 0) มีคำตอบเดียว สมการกำลังสอง (ax² + bx + c = 0) อาจมีได้ถึงสองคำตอบ และพหุนามดีกรีสูงกว่าอาจมีหลายคำตอบ เครื่องแก้สมการใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ที่พิสูจน์แล้ว เช่น สูตรกำลังสอง การแยกตัวประกอบ และการประมาณเชิงตัวเลข เพื่อหาคำตอบที่แน่นอนหรือใกล้เคียง

เมื่อไหร่ควรใช้เครื่องคำนวณนี้

ตรวจการบ้านพีชคณิตและคำตอบข้อสอบสำหรับสมการเชิงเส้น กำลังสอง และกำลังสามทีละขั้นตอน
จัดเรียงสูตรฟิสิกส์และเคมีเพื่อแก้หาตัวแปรที่ไม่ทราบค่า เช่น เวลาหรือความเร็ว
หาจุดคุ้มทุนและเกณฑ์กำไรเมื่อต้นทุนและรายได้ถูกจำลองด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นหรือกำลังสอง
หารากของฟังก์ชันพหุนามระหว่างการออกแบบและวิเคราะห์ทางวิศวกรรม
ตรวจสอบการแยกตัวประกอบ การเติมกำลังสองสมบูรณ์ และการแก้สมการด้วยมืออื่นๆ
เตรียมตัวอย่างบทเรียนและโจทย์ฝึกฝนสำหรับนักเรียนในห้องเรียน

ขั้นตอน:

เลือกประเภทของสมการ (เชิงเส้น กำลังสอง ฯลฯ)
ป้อนค่าสัมประสิทธิ์ (a, b, c ฯลฯ)
คลิกปุ่มแก้สมการเพื่อหาคำตอบ
ดูขั้นตอนการแก้สมการทีละขั้น
ตรวจสอบคำตอบโดยแทนค่าย้อนกลับเข้าไปในสมการ

สูตร

เชิงเส้น: ax + b = 0 → x = -b/a สูตรกำลังสอง: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a ดิสคริมิแนนท์: Δ = b² - 4ac Δ > 0: มีสองคำตอบจริง Δ = 0: มีหนึ่งคำตอบจริง Δ < 0: ไม่มีคำตอบจริง (เชิงซ้อน)

กรณีใช้งาน

แก้การบ้านพีชคณิตและโจทย์ฝึกหัด
หาจุดคุ้มทุนในการคำนวณทางธุรกิจ
หารากของฟังก์ชันพหุนามในงานวิศวกรรม
ตรวจสอบความถูกต้องของการคำนวณด้วยมือ

ประโยชน์หลัก

แก้สมการเชิงเส้น กำลังสอง และพหุนามทีละขั้นตอน
จัดการระบบสมการหลายตัวแปร
ตรวจสอบคำตอบเพื่อค้นหาข้อผิดพลาด
แสดงภาพความสัมพันธ์ของตัวแปร

เคล็ดลับ

ตรวจสอบโดยแทนค่าย้อนกลับ
ลองแยกตัวประกอบสมการกำลังสองก่อน
ตรวจสอบสมการทั้งหมด ไม่ใช่แค่สมการเดียว

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ไม่ทำการดำเนินการเดียวกันทั้งสองข้าง
เสียคำตอบเมื่อหารด้วยตัวแปรที่อาจเป็นศูนย์
เครื่องหมายสัมประสิทธิ์ในสูตรกำลังสองผิดพลาด

คำศัพท์สำคัญ

ตัวแปร: สัญลักษณ์แทนค่าที่ไม่ทราบ
สูตรสมการกำลังสอง: x เท่ากับ ลบ b บวก/ลบ ราก
ดิสคริมิแนนท์: กำหนดจำนวนคำตอบ
ระบบสมการ: สมการหลายสมการแก้ร่วมกัน

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

สูตรกำลังสองใช้แก้สมการกำลังสองใดๆ และ เครื่องคำนวณสมการกำลังสอง ของเรานำไปใช้โดยตรงพร้อมแสดงตัวจำแนก
คำตอบคือจุดตัดแกน x ของเส้นโค้ง ซึ่งคุณสามารถมองเห็นได้ด้วย เครื่องคิดเลขกราฟ
ระบบสมการเชิงเส้นแก้ด้วยการกำจัดแบบเกาส์ ซึ่งเป็นพีชคณิตเชิงเส้นแบบเดียวกับที่ใช้ใน เครื่องคำนวณเมทริกซ์
เศษส่วนและทศนิยมในสัมประสิทธิ์จัดการด้วยวิธีเดียวกัน และ เครื่องคำนวณเศษส่วน จะลดทอนค่าที่ปรากฏในคำตอบของคุณ
สมการเชิงเส้นในรูปความชัน-จุดตัดแกน y = mx + b เกี่ยวข้องโดยตรงกับ เครื่องคำนวณความชัน

ตัวอย่าง

การแก้ 2x² - 5x + 2 = 0: a=2, b=-5, c=2. ดิสคริมิแนนท์: (-5)² - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9. x = [5 ± √9] / 4 = [5 ± 3] / 4. คำตอบ: x = 2 หรือ x = 0.5. การตรวจสอบ: 2(2)² - 5(2) + 2 = 8 - 10 + 2 = 0 ✓

การตีความผลลัพธ์

อ่านจำนวนคำตอบร่วมกับตัวจำแนกเพื่อเข้าใจว่าคุณได้คำตอบแบบใด ตัวจำแนกที่เป็นบวกหมายถึงรากจริงที่แตกต่างกันสองราก ตัวจำแนกที่เป็นศูนย์หมายถึงรากจริงซ้ำหนึ่งราก และตัวจำแนกที่เป็นลบหมายถึงคู่สังยุคของรากเชิงซ้อนโดยไม่มีการตัดแกน x สำหรับระบบสมการ ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์บ่งชี้คำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำใคร ในขณะที่ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงมีคำตอบไม่จำกัดหรือไม่มีเลย ใช้การแจกแจงทีละขั้นตอนเพื่อติดตามการดำเนินการแต่ละครั้ง จากนั้นแทนคำตอบกลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อยืนยันว่าสมการสมดุล

คำถามที่พบบ่อย

ค่าดิสคริมิแนนต์คืออะไร?

ค่าดิสคริมิแนนต์ (b² - 4ac) กำหนดลักษณะของคำตอบของสมการกำลังสอง ค่าบวกหมายถึงคำตอบจริงสองค่า ค่าเท่ากับศูนย์หมายถึงคำตอบซ้ำหนึ่งค่า และค่าลบหมายถึงไม่มีคำตอบจริง (จำนวนเชิงซ้อน)

เครื่องมือนี้จัดการสมการที่ไม่มีคำตอบได้หรือไม่?

ได้ สำหรับสมการเช่น 0x = 5 (ไม่มีคำตอบ) หรือ 0x = 0 (มีคำตอบไม่จำกัด) เครื่องมือจะแสดงผลลัพธ์ที่เหมาะสม

จะแก้สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรอยู่ทั้งสองข้างได้อย่างไร?

รวมพจน์ตัวแปรไว้ข้างหนึ่งและพจน์คงที่ไว้อีกข้างหนึ่ง สำหรับ 3x + 6 = 2x + 10 ให้ลบ 2x ทั้งสองข้างจะได้ x + 6 = 10 จากนั้นลบ 6 จะได้ x = 4 ต้องทำให้สมการสมดุลเสมอ: ทำอะไรกับข้างหนึ่งก็ต้องทำกับอีกข้างหนึ่งด้วย ตรวจสอบโดยแทน x = 4 กลับเข้าไป: 3(4) + 6 = 18 และ 2(4) + 10 = 18 ดังนั้นคำตอบจึงถูกต้อง

รากซ้ำสำหรับสมการกำลังสองหมายความว่าอะไร?

รากซ้ำเกิดขึ้นเมื่อตัวจำแนก b² - 4ac เท่ากับศูนย์ สมการกำลังสองมีคำตอบหนึ่งค่าแต่นับสองครั้ง และกราฟของฟังก์ชันจะสัมผัสแกน x เพียงจุดเดียวแทนที่จะตัดผ่าน ตัวอย่างเช่น x² + 2x + 1 = 0 แยกตัวประกอบได้ (x + 1)² = 0 ดังนั้นรากคือ x = -1 ซ้ำสองครั้ง

ทำไมตัวจำแนกที่เป็นลบจึงให้คำตอบเชิงซ้อน?

เมื่อ b² - 4ac เป็นลบ รากที่สองในสูตรกำลังสองไม่มีค่าเป็นจำนวนจริง ดังนั้นคำตอบจึงเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องกับหน่วยจินตภาพ i = √(-1) สำหรับ x² + 4x + 13 = 0 ตัวจำแนกคือ 16 - 52 = -36 ได้ x = [-4 ± √(-36)] / 2 = -2 ± 3i รากเชิงซ้อนสองค่าจะเป็นคู่สังยุคเสมอ ซึ่งสะท้อนว่ากราฟของพาราโบลาไม่เคยตัดแกน x

กราฟของสมการบอกอะไรเกี่ยวกับคำตอบของสมการ?

คำตอบจริงก็คือจุดตัดแกน x ที่กราฟตัดผ่านแกน x นั่นเอง เส้นตรงตัดแกนหนึ่งครั้งหมายถึงหนึ่งราก พาราโบลาที่ตัดแกนสองครั้งมีสองรากที่แตกต่างกัน พาราโบลาที่สัมผัสแกนเพียงครั้งเดียวมีรากซ้ำ และพาราโบลาที่อยู่เหนือหรือใต้แกนทั้งหมดไม่มีรากจริง (มีแต่รากเชิงซ้อน) จุดตัดแกน y คือจุดที่กราฟพบกับแกน y ที่ x = 0

เครื่องมือนี้จัดการกับพหุนามดีกรีสามและดีกรีสูงกว่าได้หรือไม่?

ได้ สมการกำลังสามจะถูกจัดให้อยู่ในรูปมาตรฐานและแก้ด้วยการทดสอบรากตรรกยะร่วมกับวิธีการประมาณเชิงตัวเลขเมื่อไม่สามารถหารากที่แน่นอนได้ พหุนามดีกรีสูงกว่าที่แยกตัวประกอบไม่ได้อย่างสมบูรณ์จะใช้การหารากเชิงตัวเลขแทน ซึ่งให้คำตอบประมาณที่แม่นยำแทนที่จะล้มเหลว

ความแตกต่างระหว่างเอกลักษณ์และข้อขัดแย้งคืออะไร?

เอกลักษณ์คือสมการที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าของตัวแปร เช่น 0x = 0 หรือ x + x = 2x จึงมีคำตอบไม่จำกัดจำนวน ข้อขัดแย้งคือสมการที่ไม่เป็นจริงสำหรับค่าใดเลย เช่น 0x = 5 จึงไม่มีคำตอบเลย เครื่องแก้สมการแยกแยะกรณีเหล่านี้และบอกคุณว่าคุณกำลังดูสมการประเภทใด

เครื่องมือจัดการกับระบบสมการเชิงเส้นอย่างไร?

ระบบ 2×2 หรือ 3×3 จะเขียนในรูป Ax = b และแก้ด้วยการกำจัดแบบเกาส์ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สัมประสิทธิ์บอกผลลัพธ์: ดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์หมายถึงมีคำตอบเดียวที่ไม่ซ้ำใคร ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์หมายถึงไม่มีคำตอบหรือมีคำตอบไม่จำกัด และเครื่องแก้สมการจะรายงานว่ากรณีใดใช้ได้

ฉันสามารถแก้สมการที่มีเศษส่วนหรือสัมประสิทธิ์ทศนิยมได้หรือไม่?

ได้ คุณสามารถป้อนเศษส่วนและทศนิยมได้โดยตรง เพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณด้วยมือ ให้คูณทุกพจน์ด้วยตัวหารร่วมน้อยเพื่อกำจัดเศษส่วน หรือคูณทศนิยมด้วยกำลังของ 10 ก่อน ตัวอย่างเช่น 0.5x + 1 = 3 จะกลายเป็น x + 2 = 6 หลังจากคูณด้วย 2 ได้ x = 4

เมื่อใดควรแยกตัวประกอบ เติมกำลังสอง หรือใช้สูตรกำลังสอง?

ใช้การแยกตัวประกอบเมื่อสมการกำลังสองมีตัวประกอบจำนวนเต็มอย่างง่าย เช่น x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) ซึ่งได้ x = 2 หรือ x = 3 ใช้การเติมกำลังสองสมบูรณ์เมื่อคุณต้องการรูปจุดยอดหรือเมื่อคำตอบเกี่ยวข้องกับกำลังสองสมบูรณ์ ใช้สูตรกำลังสองเป็นวิธีสากลที่ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกแบบ รวมถึงที่มีเศษส่วน ทศนิยม หรือรากอตรรกยะ

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

สำรวจเครื่องมือเพิ่มเติม

เครื่องคิดเลขกราฟ

เครื่องคำนวณเปอร์เซ็นต์

เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์

เครื่องคำนวณเศษส่วน

เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง

เครื่องคำนวณเมทริกซ์