Calculadora de MCD y MCM

Calcula el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) con pasos del algoritmo de Euclides.

¿Qué es Calculadora de MCD y MCM?

El máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) son dos de los conceptos más importantes en teoría elemental de números, con aplicaciones desde simplificar fracciones en la escuela secundaria hasta algoritmos criptográficos que aseguran internet.

El algoritmo de Euclides, descrito por Euclides alrededor del 300 a. C., es uno de los algoritmos más antiguos y eficientes en matemáticas. Calcula el MCD en O(log(min(a,b))) pasos, terminando rápidamente incluso para números muy grandes. El algoritmo aplica la identidad: MCD(a, b) = MCD(b, a mod b) repetidamente hasta que el resto sea cero.

Esta calculadora muestra el algoritmo de Euclides completo paso a paso para dos números, y también calcula MCD y MCM para listas de varios números usando la generalización: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c).

Fórmula

Algoritmo de Euclides:

MCD(a, b) = MCD(b, a mod b) hasta b = 0

MCM a partir del MCD:

MCM(a, b) = |a × b| / MCD(a, b)

Para varios números:

MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c)

MCM(a, b, c) = MCM(MCM(a, b), c)

Cómo calcular

Ingresa dos enteros positivos a y b.
Aplica la división entera: a = q×b + r.
Reemplaza a con b y b con r. Repite hasta que r = 0.
El último resto distinto de cero es el MCD.
Calcula MCM = |a × b| / MCD usando la identidad fundamental.
Usa el modo "Varios números" para tres o más números.

Ejemplo

Halla MCD(48, 18): 48 = 2×18 + 12 → 18 = 1×12 + 6 → 12 = 2×6 + 0. MCD = 6. MCM = |48×18|/6 = 864/6 = 144. Comprueba: 144/48 = 3 ✓, 144/18 = 8 ✓.

Términos Clave Explicados

MCD: Entero más grande que divide ambos números sin resto
MCM: Entero positivo más pequeño divisible por ambos números
Coprimos: Dos números con MCD = 1, sin factores primos comunes
Algoritmo de Euclides: Antiguo algoritmo que calcula el MCD por división repetida
Operación módulo: a mod b es el resto al dividir a entre b
Divisibilidad: a divide a b si b/a no tiene resto

Casos de uso comunes

Simplificar fracciones: reduce a/b dividiendo ambos por MCD(a, b)
Sumar fracciones con diferentes denominadores: halla el MCM de los denominadores
Programación: encuentra cuándo coinciden dos eventos periódicos
Generación de claves RSA: verifica que el exponente e sea coprimo con φ(n)
Problemas de relaciones de engranajes en ingeniería mecánica
Diseño de patrones de baldosas: encuentra la unidad repetitiva más pequeña

Preguntas frecuentes

¿Qué es el MCD y cómo se calcula?

El máximo común divisor (MCD) es el entero positivo más grande que divide tanto a como b sin resto. El algoritmo de Euclides lo calcula eficientemente: reemplaza repetidamente (a, b) por (b, a mod b) hasta que b = 0. El último valor distinto de cero es el MCD.

¿Qué es el MCM y para qué se usa?

El mínimo común múltiplo (MCM) es el entero positivo más pequeño divisible por a y b. Se usa para sumar fracciones con diferentes denominadores, problemas de programación y teoría musical.

¿Cuál es la relación entre MCD y MCM?

MCD(a, b) × MCM(a, b) = |a × b|. Una vez que conoces el MCD, el MCM es simplemente |a × b| / MCD(a, b). Esto es más eficiente que listar múltiplos.

¿Qué significa que dos números sean coprimos?

Dos números son coprimos (primos relativos) si su MCD es 1 — no comparten factores primos comunes. La coprimalidad es fundamental en aritmética modular, criptografía y el teorema chino del resto.

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