Kalkulator FPB dan KPK

Hitung Faktor Persekutuan Besar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) dengan langkah-langkah lengkap.

Apa itu Kalkulator FPB dan KPK?

Faktor Persekutuan Besar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Kecil (KPK) adalah dua konsep terpenting dalam teori bilangan elementer, dengan aplikasi mulai dari menyederhanakan pecahan di sekolah menengah hingga algoritma kriptografi yang mengamankan internet.

Algoritma Euclidean, yang dijelaskan oleh Euclid sekitar 300 SM, adalah salah satu algoritma tertua dan paling efisien dalam matematika. Ia menghitung FPB dalam O(log(min(a,b))) langkah, berakhir dengan cepat bahkan untuk bilangan yang sangat besar. Algoritma ini menerapkan identitas: FPB(a, b) = FPB(b, a mod b) berulang kali hingga sisanya nol.

Kalkulator ini menampilkan algoritma Euclidean lengkap langkah demi langkah untuk dua bilangan, dan juga menghitung FPB dan KPK untuk daftar banyak bilangan menggunakan generalisasi: FPB(a, b, c) = FPB(FPB(a, b), c).

Rumus

Algoritma Euclidean:

FPB(a, b) = FPB(b, a mod b) hingga b = 0

KPK dari FPB:

KPK(a, b) = |a × b| / FPB(a, b)

Untuk banyak bilangan:

FPB(a, b, c) = FPB(FPB(a, b), c)

KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)

Cara Menghitung

Masukkan dua bilangan bulat positif a dan b.
Terapkan pembagian bilangan bulat: a = q×b + r.
Ganti a dengan b dan b dengan r. Ulangi hingga r = 0.
Sisa bukan nol terakhir adalah FPB.
Hitung KPK = |a × b| / FPB menggunakan identitas fundamental.
Gunakan mode "Banyak Bilangan" untuk tiga bilangan atau lebih.

Contoh

Cari FPB(48, 18): 48 = 2×18 + 12 → 18 = 1×12 + 6 → 12 = 2×6 + 0. FPB = 6. KPK = |48×18|/6 = 864/6 = 144. Periksa: 144/48 = 3 ✓, 144/18 = 8 ✓.

Istilah Kunci Dijelaskan

FPB: Bilangan bulat terbesar yang membagi kedua bilangan tanpa sisa
KPK: Bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh kedua bilangan
Ko-prima: Dua bilangan dengan FPB = 1, tanpa faktor prima bersama
Algoritma Euclidean: Algoritma kuno menghitung FPB dengan pembagian berulang
Operasi modulo: a mod b adalah sisa ketika a dibagi oleh b
Keterbagian: a membagi b jika b/a tidak memiliki sisa

Kasus Penggunaan Umum

Menyederhanakan pecahan: perkecil a/b dengan membagi keduanya dengan FPB(a, b)
Menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda: cari KPK dari penyebut
Penjadwalan: menemukan kapan dua peristiwa berulang akan bertepatan
Pembuatan kunci RSA: memeriksa bahwa eksponen e ko-prima dengan φ(n)
Masalah rasio roda gigi dalam teknik mesin
Desain pola ubin: menemukan unit berulang terkecil

Pertanyaan Umum

Apa itu FPB dan bagaimana cara menghitungnya?

FPB (Faktor Persekutuan Besar) adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis a dan b tanpa sisa. Algoritma Euclidean menghitungnya secara efisien: ganti (a, b) dengan (b, a mod b) berulang kali hingga b = 0. Nilai bukan nol terakhir adalah FPB.

Apa itu KPK dan untuk apa digunakan?

KPK (Kelipatan Persekutuan Kecil) adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh a dan b. Ini digunakan untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut berbeda, masalah penjadwalan, dan teori musik.

Apa hubungan antara FPB dan KPK?

FPB(a, b) × KPK(a, b) = |a × b|. Setelah FPB diketahui, KPK adalah |a × b| / FPB(a, b). Ini lebih efisien daripada mendaftar kelipatan.

Apa arti ko-prima?

Dua bilangan dikatakan ko-prima (relatif prima) jika FPB-nya adalah 1 — keduanya tidak memiliki faktor prima yang sama. Ko-primalitas sangat fundamental dalam aritmetika modular, kriptografi, dan Teorema Sisa Tiongkok.