矩阵计算器

当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵可以相乘。一个m×n矩阵可以与一个n×p矩阵相乘，结果为一个m×p矩阵。

要将两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。将行元素与列元素相乘并对结果求和。

矩阵的加法和减法按对应位置的元素逐一进行。两个矩阵的维数必须完全相同。例如，[1 2; 3 4] + [5 6; 7 8] = [6 8; 10 12]，因为 1 + 5 = 6，2 + 6 = 8，3 + 7 = 10，4 + 8 = 12。减法同理，用第一个矩阵中对应位置的元素减去第二个矩阵中的元素。

对于 A = [a b; c d]，逆矩阵为 A⁻¹ = (1/|A|) × [d -b; -c a]，其中 |A| = ad - bc 是行列式。例如，A = [2 3; 1 4] 的行列式为 |A| = 2×4 - 3×1 = 5，因此 A⁻¹ = (1/5) × [4 -3; -1 2] = [0.8 -0.6; -0.2 0.4]。只有当行列式不为零时逆矩阵才存在；行列式为零意味着该矩阵是奇异的，没有逆矩阵。

将方程组写成 Ax = b 的形式，其中 A 是系数矩阵，x 是未知数向量，b 是常数向量。然后 x = A⁻¹b。对于 x + 2y = 5 和 3x + 4y = 11，A = [1 2; 3 4]，b = [5; 11]，A⁻¹ = [-2 1; 1.5 -0.5]，得到 x = A⁻¹b = [1; 2]。验证：1 + 2×2 = 5，3×1 + 4×2 = 11，所以 x = 1、y = 2 是正确的。

LU 分解将一个矩阵 A 分解为下三角矩阵 L 与上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU。例如，A = [4 3; 6 3] 可分解为 L = [1 0; 1.5 1] 和 U = [4 3; 0 -1.5]，因为 L × U 会还原为 [4 3; 6 3]。三角方程组可以通过回代法快速求解，因此 LU 分解能加快求解方程组、求逆矩阵和计算行列式的速度，尤其适合同一个矩阵被反复使用的情况。

单位矩阵 I 的主对角线上的元素为 1，其余元素全为 0，例如 I₃ = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1]。它是矩阵的乘法单位元：任何矩阵 A 乘以单位矩阵后都保持不变，即 AI = IA = A。它在矩阵乘法中的作用与数字 1 在普通乘法中的作用相同。

沿第一行使用拉普拉斯（余子式）展开。对于 A = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]，行列式为 1×(1×0 - 4×6) - 2×(0×0 - 4×5) + 3×(0×6 - 1×5) = 1×(-24) - 2×(-20) + 3×(-5) = -24 + 40 - 15 = 1。每一项都是第一行的某个元素乘以删除其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号依次交替为 +、-、+。

矩阵是按行和列排列的数字矩形数组，例如 [1 2; 3 4]，可以有任意数量的行和列。行列式是仅由方阵计算得出的一个标量数，记作 |A|。每个方阵恰好有一个行列式，但矩阵和它的行列式是两种不同的对象：矩阵是完整的数值网格，而行列式是从中推导出的一个数字，用于反映矩阵的可逆性和缩放程度。

转置 Aᵀ 将矩阵沿主对角线翻转，使行变成列。对于 [1 2; 3 4]，其转置为 [1 3; 2 4]。转置用于将行向量转换为列向量、定义对称矩阵（即 Aᵀ = A）、以 Aᵀb 的形式计算点积，还常用于物理学和统计学，其中数据矩阵的转置可使变量与观测值对齐以便分析。

对称矩阵是等于其自身转置的方阵，即 Aᵀ = A。这意味着位于第 i 行第 j 列的元素总是等于第 j 行第 i 列的元素，使矩阵沿主对角线镜像对称。例如，[1 2; 2 3] 是对称矩阵，因为两个非对角线上的元素都是 2。对称矩阵在统计学、物理学和机器学习中随处可见，并且其特征值始终为实数。