Permutation & Combination Lkysyin

Laske permutaatiot (nPr) ja kombinaatiot (nCr) välittömästi mille tahansa n ja r. Ilmainen verkkolaskuri tarkalla kertomaisella perusteella ja vaihe vaiheella ratkaisuilla, ilman tarkkuuden häviä suurilla luvuilla.

Auttoiko tämä laskuri sinua?

Mikä on Permutation & Combination Lkysyin?

Permutaatio- ja kombinaatiolaskuri laskee järjestysten ja valintojen määrät. Permutaatio järjestää, kombinaatio valitsee.

Milloin käyttää tätä laskuria

  • Laske mahdollisten järjestysten, salasanojen, aikataulujen tai sijoitusjärjestysten määrä
  • Etsi, kuinka monta komiteaa, joukkuetta tai valintaa voidaan muodostaa ryhmästä
  • Laske loto-, arvonta- tai kilpailuvoittomahdollisuudet laskemalla suotuisat tulokset
  • Laajenna binomialilausekkeet ja lue kertoimet Pascalin kolmiosta
  • Ratkaise todennäköisyys- ja kombinatoriikka-tehtävät vaiheittain
  • Tarkista tulosmahdollisuuksien kokonaismäärä arpapeleissä ennen todennäköisyyksien laskemista

Vaiheet:

  1. Syötä n, joukon kohteiden kokonaismäärä.
  2. Syötä r, valittavien kohteiden määrä.
  3. Laskenta laskee sekä P(n,r):n että C(n,r):n kertomalokaavoilla.
  4. Tarkastele kunkin kaavan täydellistä vaiheittaisa erittelyä.

Kaava

Permutaatio (järjestys merkitsee): P(n, r) = n! ÷ (n−r)! Kombinaatio (järjestys ei merkitse): C(n, r) = n! ÷ (r! × (n−r)!) Missä n = kokonaismäärä, r = valittavien määrä

Käyttötapaukset

  • Lotto- tai arpajaisvoittomahdollisuuksien laskeminen
  • Todennäköisyys- ja kombinatoriikka-tehtävien ratkaiseminen
  • Salasanojen, PIN-koodien tai järjestysten mahdollisten määrien laskeminen
  • Komiteoiden, joukkueiden tai ryhmämuodostelmien mahdollisten lukumäärien määrittäminen

Keskeiset hyödyt

  • Laskee sekä permutaatiot että kombinaatiot samassaa paikassa
  • Tarkat tulokset mielivaltaisen tarkan aritmetiikan avulla — ei pyöristysvirheitä suurilla luvuilla
  • Täydellinen vaiheittainen erittely kertomalokaavoista
  • Näkyvä selitys siitä, milloin kumpaakaan kaavaa käytetään

Ammattilaisen vinkit

  • Kysy ensin "merkitseekö järjestys?" — tämä yksittäinen kysymys määrittää, käytetäänkö permutaatioita vai kombinaatioita
  • Suurilla n:n ja pienillä r:n arvoilla on nopeampaa laskea C(n,r) muodossa n×(n-1)×...×(n-r+1) / r! sen sijaan, että käytettäisiin täysiä kertomia
  • Komitea-, joukkue- tai ryhmävalintatehtävät ovat lähes aina kombinaatioita
  • Sijoitus-, järjestely- tai järjestämistehtävät (kuten kilpailutulokset tai istumapaikkajärjestys) ovat lähes aina permutaatioita

Yleisiä vältettäviä virheitä

  • Permutaatiokaavan käyttö, kun järjestys ei todellisuudessa merkitse ongelmassaa (tai päinvastoin)
  • Unohdetaan, että r ei voi ylittää n:ää
  • Väärä laskenta, kun tehtävä sallii toistoa — nämä kaavat olettavat, että kohteet valitaan ilman toistoa
  • nPr- ja nCr-merkintöjen sekoittaminen lukihakutehtävässä tai kokeessa

Keskeiset käsitteet selitettynä

Kertoma (n!): Kaikkien positiivisten kokonaislukujen tulo n:ään asti
Permutaatio: Järjestetty järjestelmä osajoukon kohteista
Kombinaatio: Järjestämätön valinta osajoukon kohteista
Binomikertoimen: C(n,r):n toinen nimi, merkitään (n valitse r)

Liittyvät käsitteet

  • Laskettuihin tuloksiin perustuvat todennäköisyyskysymykset vastataan Todennäköisyyslaskimella.
  • Laskettujen tietojen keskiarvo, varianssi ja hajonta lasketaan Tilastolaskimella.
  • Arvontakokeet, kuten kolikon heitto, simuloidaan Kolikonheittosimulaattorilla.
  • Satunnaislukujen arvonnat ja niiden kokonaistulokset luodaan Lottonumerogeneraattorilla.
  • Osa-kokonaisuusvertailut ja osuudet lasketaan Suhdelaskimella.

Esimerkki

Kun n=10, r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 tapaa järjestää 3 kohdetta 10:stä järjestyksessä. C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 tapaa valita 3 kohdetta 10:stä ilman järjestystä.

Tulosten tulkinta

Lue permutaatio P(n,r) lukuna järjestettyjä järjestelyitä r kohteesta n:stä, joissa kahden valitun kohteen vaihtaminen luo uuden tuloksen. Lue kombinaatio C(n,r) lukuna järjestämättömiä valintoja, joissa sama kohdejoukko lasketaan kerran riippumatta järjestyksestä. Suurempi tulos tarkoittaa, että useampia eri lopputuloksia on mahdollisia, mikä laskee todennäköisyyttä yksittäiselle lopputulokselle, kun kaikki ovat yhtä todennäköisiä. Kun r on lähellä n, C(n,r) on yhtä suuri kuin C(n, n-r) ja pysyy pienempänä, kun taas kun r on keskellä, lukumäärä huiputtaa.

Usein kysytyt kysymykset

Mikä ero permutaatiolla ja kombinaatiolla on?
Permutaatiossa järjestys merkitsee — A:n, B:n ja C:n järjestäminen eri tavoin lasketaan eri tuloksiksi. Kombinaatiossa järjestys ei merkitse — sama kohteiden joukko missä tahansa järjestyksessä lasketaan yhdeksi tulokseksi. Permutaatiot antavat aina tuloksen, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin kombinaatiot samoilla n ja r-arvoilla.
Mitä P(n,r) tarkoittaa?
P(n,r), kirjoitetaan myös nPr, on tapojen määrä järjestää r kohdetta, jotka on valittu n kohden joukosta, jossa valinnan järjestys merkitsee. Se lasketaan kaavalla n! / (n-r)!.
Mitä C(n,r) tarkoittaa?
C(n,r), kirjoitetaan myös nCr tai "n valitse r", on tapojen määrä valita r kohdetta n kohden joukosta, jossa järjestys ei merkitse. Se lasketaan kaavalla n! / (r!(n-r)!).
Miksi 0! on yhtä suuri kuin 1?
Matemaattisen konvention mukaan 0! = 1. Tämä ei ole mielivaltaista — se saa permutaatio- ja kombinaatiokaavat tuottamaan oikeita tuloksia (kuten C(n,0) = 1, mikä tarkoittaa, että on täsmälleen yksi tapa valita ei mitään) ja se on yhdenmukainen rekursiivisen määritelmän n! = n × (n-1)! kanssa.
Kuinka lasken järjestystä, kun kohteet voivat toistua?
Kun toisto on sallittu, jokaisella paikalla on n vaihtoehtoa, joten järjestettyjen järjestysten määrä on n potenssiin r, eli n^r. Esimerkki: 4-numeroinen PIN-koodi, jossa numerot voivat toistua, antaa 10^4 = 10 000 mahdollista koodia, koska kullakin 4 paikalla on 10 numerovaihtoehtoa (0–9). Tämä laskennallinen määrä on paljon suurempi kuin tavanomainen permutaatiokaava, joka kieltää toiston.
Kuinka järjestän jokaisen kohteen joukossa?
Kaikkien n kohteen järjestäminen käyttää täyttä permutaatiota n!, eli n × (n-1) × (n-2) × ... × 1. Esimerkki: 5 erilaista kirjaa hyllyssä voidaan järjestää 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 tavalla. Ensimmäisellä paikalla on 5 vaihtoehtoa, toisella 4 jäljellä olevaa, ja niin edelleen, joten kokonaismäärä on kaikkien laskevien kokonaislukujen tulo 1:een asti.
Mitä tapahtuu, kun r on suurempi kuin n?
Kun r > n, et voi valita enemmän kohteita kuin joukossa on ilman toistoa, joten molemmat tulokset ovat nolla: P(n,r) = 0 ja C(n,r) = 0. Esimerkki: 5 henkilön valitseminen 3 hengen ryhmästä on mahdotonta, mikä antaa 0 permutaatiota ja 0 kombinaatiota. Kaavat palauttavat nollan automaattisesti, koska nimittäjän kertoma kasvaa osoittajan ohi.
Mikä ero toistolla ja ilman toistoa valitsemisella on?
Toistolla valitseminen (tai korvaavalla valinnalla) tarkoittaa, että sama kohde voidaan valita uudelleen, mikä on sallittu PIN-koodien, nopanheittojen ja salasanojen kohdalla. Toistoa ilman valitseminen tarkoittaa, että jokainen kohde voidaan käyttää vain kerran, kuten voittajien valitsemisesta osallistujajoukosta. Tavanomaiset permutaatio- ja kombinaatiokaavat P(n,r) ja C(n,r) olettavat aina toiston puuttumisen; toistolla käytä järjestettyihin järjestelmiin n^r tai järjestämättömiin tähti- ja pajukohtokaavaa C(n + r - 1, r).
Kuinka tiedän, käytänkö permutaatiota vai kombinaatiota?
Kysy, merkitseekö valinnan järjestys. Jos merkitsee, käytä permutaatiota; jos ei merkitse, käytä kombinaatiota. Presidentin, varapresidentin ja rahastonhoitajan valitseminen 10 henkilöstä on permutaatio, koska jokainen toimi on erilainen: P(10,3) = 720. 3 hengen komitean valitseminen samoista 10 henkilöstä on kombinaatio, koska komiteassa ei ole arvoja: C(10,3) = 120.
Miten kombinaatiot liittyvät Pascalin kolmioon?
Pascalin kolmion jokainen rivi luettelee kombinaatioarvot C(n,r) kiinnitetylle n:lle. Rivi 4 on 1, 4, 6, 4, 1, jotka ovat C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3) ja C(4,4). Koska C(n,r) on binomikerrin, se antaa myös kertoimet lausekkeissa kuten (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. Kolmion jokainen luku on kahden yläpuolisen luvun summa, minkä vuoksi C(n,r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r).
Kuinka lasken kombinaatiot erittäin suurilla n:n arvoilla?
Käytä symmetriaa C(n,r) = C(n, n-r) ja kumoa yhteiset tekijät pitääksesi luvut pieninä. C(50,48):n tapauksessa käytä vastaavaa C(50,2) = (50 × 49)/2 = 1225, mikä on paljon helpompaa kuin 50!:n suora laajentaminen. Koska 50!:lla on yli 64 numeroa, termien kumoaminen ennen kertomista välttää valtavia välituloksia ja tuottaa saman tarkan tuloksen.

Löydä lisää työkaluja

Tuoreita poimintoja koko työkalukirjastostamme.

Hokäytä Hacking Lkysyin

Nopeus Muunnin

Ptaitfolio Rebalancing Lkysyin

Säästöt Goal Lkysyin

Jännite Drop Lkysyin

GPU Comlaitae Kustannus Lkysyin