Máy Tính Hoán Vị & Tổ Hợp

Tính hoán vị (nPr) và tổ hợp (nCr) ngay lập tức cho mọi n và r. Máy tính miễn phí với kết quả giai thừa chính xác và lời giải từng bước, không mất độ chính xác với số lớn.

Máy Tính Hoán Vị & Tổ Hợp là gì?

Hoán vị và tổ hợp là hai cách cơ bản để đếm số cách chọn hoặc sắp xếp các phần tử từ một tập lớn hơn — nền tảng của xác suất, thống kê và tổ hợp học.

Hoán vị, ký hiệu P(n,r) hoặc nPr, đếm số cách sắp xếp r phần tử được chọn từ n phần tử, trong đó thứ tự chọn quan trọng. Tổ hợp, ký hiệu C(n,r) hoặc nCr, đếm số cách chọn r phần tử từ n phần tử, trong đó thứ tự không quan trọng. Máy tính này tính toán cả hai bằng số học chính xác với độ chính xác tùy ý.

Công Thức

Hoán vị: P(n,r) = n! / (n-r)!

Tổ hợp: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)

Trong đó n! (giai thừa của n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Cách Tính

Nhập n, tổng số phần tử trong tập hợp.
Nhập r, số phần tử bạn đang chọn.
Máy tính tính cả P(n,r) và C(n,r) bằng các công thức giai thừa.
Xem lại phân tích đầy đủ từng bước của mỗi công thức.

Ví Dụ

Với n=10, r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 cách sắp xếp 3 phần tử từ 10 theo thứ tự. C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 cách chọn 3 phần tử từ 10 không xét thứ tự.

Lợi Ích Chính

Tính cả hoán vị và tổ hợp trong một nơi
Kết quả chính xác bằng số học độ chính xác tùy ý — không có lỗi làm tròn với số lớn
Phân tích đầy đủ từng bước của các công thức giai thừa
Giải thích rõ ràng khi nào dùng công thức nào

Những Lỗi Thường Gặp Cần Tránh

Dùng công thức hoán vị khi thứ tự thực sự không quan trọng trong bài toán (hoặc ngược lại)
Quên rằng r không thể vượt quá n
Đếm sai khi bài toán cho phép lặp lại
Nhầm lẫn ký hiệu nPr và nCr khi đọc sách giáo khoa hoặc đề thi

Mẹo Chuyên Nghiệp

Trước tiên hãy tự hỏi "thứ tự có quan trọng không?"
Với n lớn và r nhỏ, tính C(n,r) dưới dạng n×(n-1)×...×(n-r+1) / r! sẽ nhanh hơn
Các bài toán chọn ủy ban, đội, hoặc nhóm hầu như luôn là tổ hợp
Các bài toán xếp hạng, sắp xếp, hoặc thứ tự hầu như luôn là hoán vị

Các Thuật Ngữ Chính Được Giải Thích

Giai thừa (n!): Tích của tất cả các số nguyên dương đến n
Hoán vị: Sự sắp xếp có thứ tự của một tập con các phần tử
Tổ hợp: Sự lựa chọn không có thứ tự của một tập con các phần tử
Hệ Số Nhị Thức: Tên gọi khác của C(n,r)

Trường Hợp Sử Dụng Phổ Biến

Tính xác suất xổ số hoặc rút thăm
Giải bài tập xác suất và tổ hợp
Đếm số mật khẩu, mã PIN hoặc cách sắp xếp có thể có
Xác định số ủy ban, đội, hoặc nhóm có thể có

Câu Hỏi Thường Gặp

Sự khác biệt giữa hoán vị và tổ hợp là gì?

Trong hoán vị, thứ tự quan trọng — sắp xếp A, B, C theo cách khác nhau được tính là kết quả khác nhau. Trong tổ hợp, thứ tự không quan trọng — chọn cùng một tập phần tử theo bất kỳ thứ tự nào được tính là một kết quả.

P(n,r) có nghĩa là gì?

P(n,r), còn viết là nPr, là số cách sắp xếp r phần tử được chọn từ tập n phần tử, trong đó thứ tự chọn quan trọng. Được tính bằng n! / (n-r)!.

C(n,r) có nghĩa là gì?

C(n,r), còn viết là nCr hoặc "n chọn r", là số cách chọn r phần tử từ tập n phần tử mà thứ tự không quan trọng. Được tính bằng n! / (r!(n-r)!).

Tại sao 0! bằng 1?

Theo quy ước toán học, 0! = 1. Điều này không tùy tiện — nó giúp các công thức hoán vị và tổ hợp cho ra kết quả chính xác.