Matematik

Kalkulator Permutasi & Kombinasi

Kira permutasi (nPr) dan kombinasi (nCr) serta-merta untuk sebarang n dan r. Kalkulator percuma dengan keputusan faktorial tepat dan penyelesaian langkah demi langkah, tanpa kehilangan ketepatan untuk nombor besar.

n (jumlah item)

r (item dipilih)

Masukkan integer di mana n ≥ r ≥ 0.

Permutasi P(n,r)

Kombinasi C(n,r)

Permutasi lawan Kombinasi

• Permutasi: Susunan penting. Menyusun 3 orang di tempat ke-1, ke-2 dan ke-3 mengira "A, B, C" dan "B, A, C" sebagai hasil berbeza.

• Kombinasi: Susunan tidak penting. Memilih 3 orang untuk jawatankuasa mengira "A, B, C" dan "B, A, C" sebagai hasil yang sama.

Adakah kalkulator ini membantu anda?

Apakah Kalkulator Permutasi & Kombinasi?

Permutasi dan kombinasi adalah dua cara asas untuk mengira berapa banyak cara anda boleh memilih atau menyusun item daripada set yang lebih besar — asas kebarangkalian, statistik dan kombinatorik. Permutasi, ditulis P(n,r) atau nPr, mengira bilangan cara untuk menyusun r item yang dipilih daripada n, di mana susunan pemilihan adalah penting. Kombinasi, ditulis C(n,r) atau nCr, mengira bilangan cara untuk memilih r item daripada n, di mana susunan tidak penting. Kalkulator ini mengira kedua-duanya menggunakan aritmetik tepat berketepatan sembarangan.

Bila Menggunakan Kalkulator Ini

Mengira bilangan susunan, kata laluan, jadual atau turutan kedudukan yang mungkin
Menentukan berapa banyak jawatankuasa, pasukan atau pilihan yang boleh dibentuk daripada satu kumpulan
Mengira nisbah loteri, cabutan bertuah atau pertandingan dengan mengira hasil yang menguntungkan
Mengembangkan ungkapan binomial dan membaca pekali daripada Segitiga Pascal
Menyelesaikan masalah kerja rumah kebarangkalian dan kombinatorik langkah demi langkah
Menyemak jumlah bilangan hasil dalam permainan peluang sebelum mengira kebarangkalian

Langkah:

Masukkan n, jumlah bilangan item dalam set.
Masukkan r, bilangan item yang anda pilih.
Kalkulator mengira kedua-dua P(n,r) dan C(n,r) menggunakan formula faktorial.
Semak pecahan lengkap langkah demi langkah bagi setiap formula.

Rumus

Permutasi: P(n,r) = n! / (n-r)! Kombinasi: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) Di mana n! (faktorial n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Kes Penggunaan

Mengira kebarangkalian loteri atau cabutan bertuah
Menyelesaikan kerja rumah kebarangkalian dan kombinatorik
Mengira kemungkinan kata laluan, PIN atau susunan
Menentukan bilangan jawatankuasa, pasukan atau kumpulan yang mungkin

Faedah Utama

Mengira kedua-dua permutasi dan kombinasi di satu tempat
Keputusan tepat menggunakan aritmetik berketepatan sembarangan — tiada ralat pembundaran pada nombor besar
Pecahan lengkap langkah demi langkah bagi formula faktorial
Penjelasan jelas tentang bila menggunakan setiap formula

Tips Pro

Tanya diri anda dahulu "adakah susunan penting?"
Untuk n besar dan r kecil, lebih pantas mengira C(n,r) sebagai n×(n-1)×...×(n-r+1) / r!
Masalah pemilihan jawatankuasa, pasukan atau kumpulan hampir selalu kombinasi
Masalah kedudukan, susunan atau pengaturan hampir selalu permutasi

Kesilapan Biasa

Menggunakan formula permutasi apabila susunan sebenarnya tidak penting dalam masalah (atau sebaliknya)
Terlupa bahawa r tidak boleh melebihi n
Salah mengira apabila masalah membenarkan pengulangan
Mengelirukan notasi nPr dan nCr semasa membaca buku teks atau soalan peperiksaan

Istilah Utama

Faktorial (n!): Hasil darab semua integer positif hingga n
Permutasi: Susunan tersusun bagi subset item
Kombinasi: Pemilihan tidak tersusun bagi subset item
Pekali Binomial: Nama lain untuk C(n,r)

Konsep Berkaitan

Soalan kebarangkalian yang dibina daripada hasil yang dikira dijawab oleh Kalkulator Kebarangkalian.
Min, varians dan serakan data yang dikira dikomputerkan oleh Kalkulator Statistik.
Eksperimen peluang seperti melambung syiling disimulasikan oleh Simulator Lambungan Syiling.
Cabutan nombor rawak dan jumlah bilangan hasilnya dijana oleh Generator Nomor Lotre.
Perbandingan bahagian-kepada-keseluruhan dan pecahan dikira oleh Kalkulator Nisbah.

Contoh

Untuk n=10, r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 cara untuk menyusun 3 item daripada 10 mengikut susunan. C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 cara untuk memilih 3 item daripada 10 tanpa mengambil kira susunan.

Mentafsir Hasil

Baca permutasi P(n,r) sebagai bilangan susunan tersusun bagi r item yang diambil daripada n, di mana menukar kedudukan dua item yang dipilih menghasilkan hasil baharu. Baca kombinasi C(n,r) sebagai bilangan pilihan tidak tersusun, di mana set item yang sama dikira sekali tanpa mengira susunan. Hasil yang lebih besar bermakna lebih banyak hasil berbeza yang mungkin, yang merendahkan kebarangkalian mana-mana satu hasil apabila semua hasil berkemungkinan sama. Apabila r hampir dengan n, C(n,r) sama dengan C(n, n-r) dan kekal kecil, manakala apabila r berada di tengah, kiraan mencapai puncak.

Soalan Lazim

Apakah perbezaan antara permutasi dan kombinasi?

Dalam permutasi, susunan penting — menyusun A, B, C secara berbeza dikira sebagai hasil berbeza. Dalam kombinasi, susunan tidak penting — memilih set item yang sama dalam sebarang susunan dikira sebagai satu hasil.

Apakah maksud P(n,r)?

P(n,r), juga ditulis nPr, ialah bilangan cara untuk menyusun r item yang dipilih daripada set n item, di mana susunan pemilihan adalah penting. Ia dikira sebagai n! / (n-r)!.

Apakah maksud C(n,r)?

C(n,r), juga ditulis nCr atau "n pilih r", ialah bilangan cara untuk memilih r item daripada set n item di mana susunan tidak penting. Ia dikira sebagai n! / (r!(n-r)!).

Mengapakah 0! bersamaan dengan 1?

Mengikut konvensyen matematik, 0! = 1. Ini bukan sewenang-wenangnya — ia membolehkan formula permutasi dan kombinasi menghasilkan keputusan yang betul.

Bagaimana saya mengira susunan apabila item boleh berulang?

Apabila pengulangan dibenarkan, setiap kedudukan mempunyai n pilihan, jadi bilangan susunan tersusun ialah n kuasa r, ditulis n^r. Contohnya, PIN 4 digit yang digitnya boleh berulang memberikan 10^4 = 10000 kod yang mungkin, kerana setiap 4 kedudukan mempunyai 10 pilihan digit (0 hingga 9). Ini mengira jauh lebih banyak susunan berbanding formula permutasi biasa, yang melarang pengulangan.

Bagaimana saya menyusun setiap item dalam set?

Menyusun kesemua n item menggunakan permutasi penuh n!, bermakna n × (n-1) × (n-2) × ... × 1. Contohnya, 5 buku berbeza di atas rak boleh disusun dalam 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara. Kedudukan pertama mempunyai 5 pilihan, kedudukan kedua 4 baki, dan seterusnya, jadi jumlahnya ialah hasil darab semua integer menurun hingga 1.

Apa yang berlaku apabila r lebih besar daripada n?

Apabila r > n anda tidak boleh memilih lebih banyak item daripada yang terkandung dalam set tanpa pengulangan, jadi kedua-dua hasil ialah sifar: P(n,r) = 0 dan C(n,r) = 0. Contohnya, memilih 5 orang daripada kumpulan 3 orang adalah mustahil, memberikan 0 permutasi dan 0 kombinasi. Formula kembali sifar secara automatik kerana faktorial dalam penyebut berkembang melebihi pengangka.

Apakah perbezaan antara memilih dengan dan tanpa pengulangan?

Memilih dengan pengulangan (atau dengan penggantian) bermakna item yang sama boleh dipilih semula, yang dibenarkan untuk PIN, lontaran dadu dan kata laluan. Memilih tanpa pengulangan bermakna setiap item hanya boleh digunakan sekali, seperti memilih pemenang daripada kumpulan peserta. Formula permutasi dan kombinasi biasa P(n,r) dan C(n,r) sentiasa mengandaikan tiada pengulangan; untuk pengulangan gunakan n^r bagi susunan tersusun atau formula bintang-dan-garisan C(n + r - 1, r) bagi susunan tidak tersusun.

Bagaimana saya tahu sama ada hendak menggunakan permutasi atau kombinasi?

Tanya sama ada susunan pemilihan penting. Jika penting, gunakan permutasi; jika tidak, gunakan kombinasi. Memilih presiden, naib presiden dan bendahari daripada 10 orang ialah permutasi kerana setiap jawatan berbeza: P(10,3) = 720. Memilih jawatankuasa 3 orang daripada 10 orang yang sama ialah kombinasi kerana jawatankuasa tidak mempunyai pangkat: C(10,3) = 120.

Bagaimana kombinasi berkaitan dengan Segitiga Pascal?

Setiap baris Segitiga Pascal menyenaraikan nilai kombinasi C(n,r) bagi n yang tetap. Baris 4 berbunyi 1, 4, 6, 4, 1, iaitu C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3) dan C(4,4). Kerana C(n,r) ialah pekali binomial, ia juga memberikan pekali dalam pengembangan seperti (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. Setiap nombor dalam segi tiga ialah hasil tambah dua nombor di atasnya, sebab itu C(n,r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r).

Bagaimana saya mengira kombinasi dengan n yang sangat besar?

Gunakan simetri C(n,r) = C(n, n-r) dan batalkan faktor sepunya untuk memastikan nombor kekal kecil. Untuk C(50,48), gunakan persamaan C(50,2) = (50 × 49)/2 = 1225, yang jauh lebih mudah daripada mengembangkan 50! secara terus. Kerana 50! mempunyai lebih daripada 64 digit, membatalkan sebutan sebelum mendarab mengelakkan nilai pertengahan yang sangat besar dan menghasilkan hasil yang sama tepat.