Matemática

Calculadora de Permutação e Combinação

Calcule permutações (nPr) e combinações (nCr) instantaneamente para qualquer n e r. Calculadora gratuita com resultados fatoriais exatos e soluções passo a passo, sem perda de precisão para números grandes.

Esta ferramenta te ajudou?

O que é Calculadora de Permutação e Combinação?

Permutações e combinações são as duas formas fundamentais de contar de quantas maneiras você pode selecionar ou organizar itens de um conjunto maior — uma pedra angular da probabilidade, estatística e combinatória. Uma permutação, escrita P(n,r) ou nPr, conta o número de formas de organizar r itens escolhidos de n, onde a ordem de seleção importa. Uma combinação, escrita C(n,r) ou nCr, conta o número de formas de escolher r itens de n, onde a ordem não importa. Esta calculadora computa ambas usando aritmética exata de precisão arbitrária.

Quando Usar Esta Calculadora

  • Conte o número de arranjos, senhas, cronogramas ou ordens de classificação possíveis
  • Descubra quantos comitês, equipes ou seleções podem ser formados a partir de um grupo
  • Calcule as probabilidades de loteria, sorteio ou concurso contando os resultados favoráveis
  • Expanda expressões binomiais e leia os coeficientes do Triângulo de Pascal
  • Resolva problemas de probabilidade e combinatória passo a passo
  • Verifique o número total de resultados em jogos de azar antes de calcular as probabilidades

Passos:

  1. Insira n, o número total de itens no conjunto.
  2. Insira r, o número de itens que você está selecionando.
  3. A calculadora computa tanto P(n,r) quanto C(n,r) usando as fórmulas fatoriais.
  4. Revise a decomposição completa passo a passo de cada fórmula.

Fórmula

Permutação: P(n,r) = n! / (n-r)! Combinação: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) Onde n! (n fatorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Casos de uso

  • Calcular probabilidades de loteria ou sorteio
  • Resolver tarefas de probabilidade e combinatória
  • Contar possíveis senhas, PINs ou arranjos
  • Determinar o número de comitês, equipes ou agrupamentos possíveis

Benefícios Principais

  • Calcula tanto permutações quanto combinações em um só lugar
  • Resultados exatos usando aritmética de precisão arbitrária — sem erros de arredondamento em números grandes
  • Decomposição completa passo a passo das fórmulas fatoriais
  • Explicação clara de quando usar cada fórmula

Dicas Profissionais

  • Pergunte-se primeiro "a ordem importa?"
  • Para n grande e r pequeno, é mais rápido calcular C(n,r) como n×(n-1)×...×(n-r+1) / r!
  • Problemas de seleção de comitê, equipe ou grupo são quase sempre combinações
  • Problemas de classificação, arranjo ou ordenação são quase sempre permutações

Erros Comuns a Evitar

  • Usar a fórmula de permutação quando a ordem na verdade não importa no problema (ou vice-versa)
  • Esquecer que r não pode exceder n
  • Contar errado quando um problema permite repetição
  • Confundir a notação nPr e nCr ao ler um livro didático ou questão de exame

Termos Chave Explicados

Fatorial (n!): O produto de todos os inteiros positivos até n
Permutação: Um arranjo ordenado de um subconjunto de itens
Combinação: Uma seleção não ordenada de um subconjunto de itens
Coeficiente Binomial: Outro nome para C(n,r)

Conceitos relacionados

Exemplo

Para n=10, r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 formas de organizar 3 itens de 10 em ordem. C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 formas de escolher 3 itens de 10 sem considerar a ordem.

Interpretação dos seus resultados

Leia a permutação P(n,r) como o número de arranjos ordenados de r itens retirados de n, em que trocar dois itens escolhidos cria um novo resultado. Leia a combinação C(n,r) como o número de seleções não ordenadas, em que o mesmo conjunto de itens conta apenas uma vez, independentemente da ordem. Um resultado maior significa que mais desfechos distintos são possíveis, o que reduz a probabilidade de qualquer desfecho único quando tudo é igualmente provável. Quando r está próximo de n, C(n,r) é igual a C(n, n-r) e permanece pequeno; quando r está no meio, a contagem atinge o pico.

Perguntas Frequentes

Qual é a diferença entre uma permutação e uma combinação?
Em uma permutação, a ordem importa — organizar A, B, C de forma diferente conta como resultados diferentes. Em uma combinação, a ordem não importa — escolher o mesmo conjunto de itens em qualquer ordem conta como um resultado.
O que significa P(n,r)?
P(n,r), também escrito nPr, é o número de formas de organizar r itens selecionados de um conjunto de n itens, onde a ordem de seleção importa. É calculado como n! / (n-r)!.
O que significa C(n,r)?
C(n,r), também escrito nCr ou "n escolhe r", é o número de formas de selecionar r itens de um conjunto de n itens onde a ordem não importa. É calculado como n! / (r!(n-r)!).
Por que 0! é igual a 1?
Por convenção matemática, 0! = 1. Isso não é arbitrário — faz com que as fórmulas de permutação e combinação produzam resultados corretos.
Como conto arranjos quando os itens podem se repetir?
Quando a repetição é permitida, cada posição tem n escolhas, então o número de arranjos ordenados é n elevado a r, escrito n^r. Por exemplo, um PIN de 4 dígitos em que os dígitos podem se repetir gera 10^4 = 10000 códigos possíveis, porque cada uma das 4 posições tem 10 escolhas de dígitos (0 a 9). Isso conta muito mais arranjos do que a fórmula de permutação normal, que proíbe repetições.
Como organizo todos os itens do conjunto?
Organizar todos os n itens usa a permutação completa n!, ou seja, n × (n-1) × (n-2) × ... × 1. Por exemplo, 5 livros diferentes em uma estante podem ser ordenados de 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 maneiras. A primeira posição tem 5 escolhas, a segunda tem 4 restantes, e assim por diante, então o total é o produto de todos os inteiros decrescentes até 1.
O que acontece quando r é maior que n?
Quando r > n você não pode selecionar mais itens do que o conjunto contém sem repetição, então ambos os resultados são zero: P(n,r) = 0 e C(n,r) = 0. Por exemplo, escolher 5 pessoas de um grupo de 3 é impossível, resultando em 0 permutações e 0 combinações. As fórmulas retornam zero automaticamente porque o fatorial no denominador cresce além do numerador.
Qual é a diferença entre selecionar com e sem repetição?
Selecionar com repetição (ou com reposição) significa que o mesmo item pode ser escolhido novamente, o que é permitido para PINs, lançamentos de dados e senhas. Selecionar sem repetição significa que cada item pode ser usado apenas uma vez, como escolher vencedores de um grupo de participantes. As fórmulas regulares de permutação e combinação P(n,r) e C(n,r) sempre assumem que não há repetição; para repetição use n^r para arranjos ordenados ou a fórmula de estrelas e barras C(n + r - 1, r) para os não ordenados.
Como sei se devo usar uma permutação ou uma combinação?
Pergunte se a ordem de seleção importa. Se importa, use uma permutação; se não, use uma combinação. Escolher um presidente, um vice-presidente e um tesoureiro de 10 pessoas é uma permutação porque cada cargo é distinto: P(10,3) = 720. Escolher um comitê de 3 pessoas das mesmas 10 pessoas é uma combinação porque o comitê não tem hierarquia: C(10,3) = 120.
Como as combinações se relacionam com o Triângulo de Pascal?
Cada linha do Triângulo de Pascal lista os valores de combinação C(n,r) para um n fixo. A linha 4 é 1, 4, 6, 4, 1, que correspondem a C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3) e C(4,4). Como C(n,r) é o coeficiente binomial, ele também fornece os coeficientes em expansões como (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. Cada número do triângulo é a soma dos dois números acima dele, por isso C(n,r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r).
Como calculo combinações com n muito grande?
Use a simetria C(n,r) = C(n, n-r) e cancele fatores comuns para manter os números pequenos. Para C(50,48), use o equivalente C(50,2) = (50 × 49)/2 = 1225, que é muito mais fácil do que expandir 50! diretamente. Como 50! tem mais de 64 dígitos, cancelar os termos antes de multiplicar evita valores intermediários enormes e produz o mesmo resultado exato.

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