Matemáticas

Calculadora de Permutaciones y Combinaciones

Calcula permutaciones (nPr) y combinaciones (nCr) al instante para cualquier n y r. Calculadora gratuita con resultados factoriales exactos y soluciones paso a paso, sin pérdida de precisión en números grandes.

¿Te ha ayudado esta calculadora?

¿Qué es Calculadora de Permutaciones y Combinaciones?

Las permutaciones y combinaciones son las dos formas fundamentales de contar de cuántas maneras se pueden seleccionar u ordenar elementos de un conjunto más grande — una piedra angular de la probabilidad, la estadística y la combinatoria. Una permutación, escrita P(n,r) o nPr, cuenta el número de formas de ordenar r elementos elegidos de n, donde el orden de selección importa. Una combinación, escrita C(n,r) o nCr, cuenta el número de formas de elegir r elementos de n, donde el orden no importa. Esta calculadora computa ambas usando aritmética exacta de precisión arbitraria.

Cuándo Usar Esta Calculadora

  • Contar el número de disposiciones, contraseñas, horarios u órdenes de clasificación posibles
  • Descubrir cuántos comités, equipos o selecciones se pueden formar a partir de un grupo
  • Calcular las probabilidades de lotería, rifa o concurso contando los resultados favorables
  • Expandir expresiones binomiales y leer los coeficientes del Triángulo de Pascal
  • Resolver problemas de probabilidad y combinatoria de tareas paso a paso
  • Comprobar el número total de resultados en juegos de azar antes de calcular probabilidades

Pasos:

  1. Introduce n, el número total de elementos en el conjunto.
  2. Introduce r, el número de elementos que estás seleccionando.
  3. La calculadora computa tanto P(n,r) como C(n,r) usando las fórmulas factoriales.
  4. Revisa el desglose completo paso a paso de cada fórmula.

Fórmula

Permutación: P(n,r) = n! / (n-r)! Combinación: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) Donde n! (n factorial) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Casos de uso

  • Calcular probabilidades de lotería o rifa
  • Resolver tareas de probabilidad y combinatoria
  • Contar posibles contraseñas, PINs o disposiciones
  • Determinar el número de comités, equipos o agrupaciones posibles

Beneficios Clave

  • Calcula tanto permutaciones como combinaciones en un solo lugar
  • Resultados exactos usando aritmética de precisión arbitraria — sin errores de redondeo en números grandes
  • Desglose completo paso a paso de las fórmulas factoriales
  • Explicación clara de cuándo usar cada fórmula

Consejos Profesionales

  • Pregúntate primero "¿importa el orden?"
  • Para n grande y r pequeño, es más rápido calcular C(n,r) como n×(n-1)×...×(n-r+1) / r!
  • Los problemas de selección de comités, equipos o grupos son casi siempre combinaciones
  • Los problemas de clasificación, ordenación o disposición son casi siempre permutaciones

Errores Comunes que Debes Evitar

  • Usar la fórmula de permutación cuando el orden en realidad no importa en el problema (o viceversa)
  • Olvidar que r no puede exceder a n
  • Contar mal cuando un problema permite repetición
  • Confundir la notación nPr y nCr al leer un libro de texto o pregunta de examen

Términos Clave Explicados

Factorial (n!): El producto de todos los enteros positivos hasta n
Permutación: Un arreglo ordenado de un subconjunto de elementos
Combinación: Una selección desordenada de un subconjunto de elementos
Coeficiente Binomial: Otro nombre para C(n,r)

Conceptos relacionados

  • Las preguntas de probabilidad construidas a partir de resultados contados las responde la Calculadora de Probabilidad.
  • Las medias, la varianza y la dispersión de los datos contados las calcula la Calculadora de Estadística.
  • Los experimentos de azar como lanzar monedas se simulan con el Simulador de Lanzamiento de Monedas.
  • Los sorteos de números aleatorios y sus conteos totales de resultados se generan con el Generador de Números de Lotería.
  • Las comparaciones parte-todo y las proporciones se calculan con la Calculadora de Razones.

Ejemplo

Para n=10, r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 formas de ordenar 3 elementos de 10 en orden. C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 formas de elegir 3 elementos de 10 sin importar el orden.

Interpretación de sus resultados

Lee la permutación P(n,r) como el número de disposiciones ordenadas de r elementos extraídos de n, donde intercambiar dos elementos elegidos crea un resultado nuevo. Lee la combinación C(n,r) como el número de selecciones no ordenadas, donde el mismo conjunto de elementos cuenta una vez sin importar el orden. Un resultado mayor significa que son posibles más resultados distintos, lo que reduce la probabilidad de cualquier resultado individual cuando todos son igualmente probables. Cuando r está cerca de n, C(n,r) es igual a C(n, n-r) y se mantiene pequeño, mientras que cuando r está en el medio, el conteo alcanza su máximo.

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?
En una permutación, el orden importa — ordenar A, B, C de forma diferente cuenta como resultados diferentes. En una combinación, el orden no importa — elegir el mismo conjunto de elementos en cualquier orden cuenta como un resultado.
¿Qué significa P(n,r)?
P(n,r), también escrito nPr, es el número de formas de ordenar r elementos seleccionados de un conjunto de n elementos, donde el orden de selección importa. Se calcula como n! / (n-r)!.
¿Qué significa C(n,r)?
C(n,r), también escrito nCr o "n elige r", es el número de formas de seleccionar r elementos de un conjunto de n elementos donde el orden no importa. Se calcula como n! / (r!(n-r)!).
¿Por qué 0! es igual a 1?
Por convención matemática, 0! = 1. Esto no es arbitrario — hace que las fórmulas de permutación y combinación produzcan resultados correctos.
¿Cómo cuento las disposiciones cuando los elementos pueden repetirse?
Cuando se permite la repetición, cada posición tiene n opciones, así que el número de disposiciones ordenadas es n elevado a r, escrito n^r. Por ejemplo, un PIN de 4 dígitos donde los dígitos pueden repetirse da 10^4 = 10000 códigos posibles, porque cada una de las 4 posiciones tiene 10 opciones de dígito (del 0 al 9). Esto cuenta muchas más disposiciones que la fórmula de permutación normal, que prohíbe las repeticiones.
¿Cómo ordeno todos los elementos del conjunto?
Ordenar todos los n elementos usa la permutación completa n!, es decir, n × (n-1) × (n-2) × ... × 1. Por ejemplo, 5 libros diferentes en una estantería se pueden ordenar de 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 formas. La primera posición tiene 5 opciones, la segunda 4 restantes, y así sucesivamente, así que el total es el producto de todos los enteros descendentes hasta 1.
¿Qué ocurre cuando r es mayor que n?
Cuando r > n, no puedes seleccionar sin repetición más elementos de los que contiene el conjunto, así que ambos resultados son cero: P(n,r) = 0 y C(n,r) = 0. Por ejemplo, elegir 5 personas de un grupo de 3 es imposible, dando 0 permutaciones y 0 combinaciones. Las fórmulas devuelven cero automáticamente porque el factorial en el denominador crece más allá del numerador.
¿Cuál es la diferencia entre seleccionar con y sin repetición?
Seleccionar con repetición (o con reemplazo) significa que el mismo elemento se puede volver a elegir, lo que se permite en PINs, tiradas de dados y contraseñas. Seleccionar sin repetición significa que cada elemento solo se puede usar una vez, como elegir ganadores de un grupo de participantes. Las fórmulas normales de permutación y combinación P(n,r) y C(n,r) siempre asumen que no hay repetición; para repetición, usa n^r para disposiciones ordenadas o la fórmula de estrellas y barras C(n + r - 1, r) para las no ordenadas.
¿Cómo sé si debo usar una permutación o una combinación?
Pregúntate si el orden de la selección importa. Si importa, usa una permutación; si no, una combinación. Elegir un presidente, un vicepresidente y un tesorero de 10 personas es una permutación porque cada cargo es distinto: P(10,3) = 720. Elegir un comité de 3 personas de esas mismas 10 personas es una combinación porque el comité no tiene rangos: C(10,3) = 120.
¿Cómo se relacionan las combinaciones con el Triángulo de Pascal?
Cada fila del Triángulo de Pascal lista los valores de combinación C(n,r) para un n fijo. La fila 4 dice 1, 4, 6, 4, 1, que son C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3) y C(4,4). Como C(n,r) es el coeficiente binomial, también da los coeficientes en expansiones como (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4. Cada número del triángulo es la suma de los dos números que tiene encima, por eso C(n,r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r).
¿Cómo calculo combinaciones con n muy grande?
Usa la simetría C(n,r) = C(n, n-r) y cancela los factores comunes para mantener los números pequeños. Para C(50,48), usa el equivalente C(50,2) = (50 × 49)/2 = 1225, que es mucho más fácil que expandir 50! directamente. Como 50! tiene más de 64 dígitos, cancelar términos antes de multiplicar evita valores intermedios enormes y produce el mismo resultado exacto.

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