벡터 계산기

두 벡터의 내적, 외적, 크기, 사잇각을 즉시 계산하고, 벡터가 공간에서 정확히 어떻게 향하는지 실시간 애니메이션 도형으로 보여줍니다.

벡터 계산기이란?

벡터 계산기는 벡터 대수학의 기본 연산인 내적, 외적, 크기, 그리고 두 벡터 사이의 각도를 계산합니다. 벡터는 크기와 방향을 모두 가진 양을 나타냅니다 — 속도, 힘, 변위, 가속도는 모두 벡터이며, 이 때문에 벡터 수학은 물리학, 공학, 3D 그래픽스, 로봇공학, 머신러닝에서 필수적입니다.

내적은 두 벡터가 얼마나 정렬되어 있는지를 측정하며, 힘이 한 일을 계산하거나 수직 여부를 판단하는 데 사용됩니다. 외적은 두 입력 벡터 모두에 수직인 벡터를 생성하며, 3D 그래픽스에서 토크, 각운동량, 표면 법선을 구하는 데 사용됩니다. 이 계산기는 이 모든 것을 즉시 계산하고 벡터의 애니메이션 2D 도형을 그려주므로 숫자뿐 아니라 기하학적 관계도 직접 확인할 수 있습니다.

공식

내적: A·B = AxBx + AyBy + AzBz

외적: A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)

크기: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²)

각도: θ = arccos( (A·B) / (|A|·|B|) )

계산 방법

벡터 A의 x, y, z 성분을 입력하세요.
벡터 B의 x, y, z 성분을 입력하세요 (2차원 벡터의 경우 z는 0으로 둡니다).
내적, 외적, 각 벡터의 크기, 그리고 둘 사이의 각도를 즉시 확인하세요.
두 벡터가 서로에 대해 어떤 방향을 향하는지 보여주는 애니메이션 도형이 다시 그려지는 것을 확인하세요.

예시

A = (3, 2, 0), B = (1, 4, 0)일 때: 내적은 3×1 + 2×4 = 11, A의 크기는 √13 ≈ 3.61, B의 크기는 √17 ≈ 4.12이며, 두 벡터 사이의 각도는 약 42°입니다.

주요 이점

내적, 외적, 크기, 각도를 한 곳에서 즉시 계산
애니메이션 도형이 숫자뿐 아니라 기하학적 관계를 보여줌
2차원 벡터(z = 0)와 완전한 3차원 벡터 모두에서 작동
수동으로 삼각함수나 제곱근 계산을 할 필요 없음

피해야 할 일반적인 실수

내적(스칼라)과 외적(벡터)을 혼동하는 것
외적이 2차원이 아닌 3차원 벡터에만 적용된다는 것을 잊는 것
손으로 각도를 계산할 때 도(度)와 라디안을 일관성 없이 사용하는 것
외적이 0이라는 것이 벡터가 서로 무관하다는 뜻이라고 가정하는 것 — 실제로는 평행하다는 의미임

전문가 팁

내적이 0이면 각도를 계산할 필요 없이 즉시 두 벡터가 수직임을 알 수 있습니다
영벡터의 외적은 두 벡터가 평행함(또는 하나가 영벡터임)을 나타냅니다
2차원 문제에서는 z를 0으로 두기만 하면 공식이 여전히 올바르게 작동합니다
계산된 결과를 확인하기 전에 오른손 법칙을 사용해 외적의 방향을 미리 예측해 보세요

주요 용어 설명

스칼라: 내적 결과처럼 크기만 있고 방향이 없는 단일 숫자
크기: 피타고라스 정리로 계산되는 벡터의 길이
직교: 내적이 0일 때 사용되는, 수직을 뜻하는 또 다른 단어
오른손 법칙: 외적의 방향을 결정하기 위한 규칙

일반적인 사용 사례

물리 문제에서 내적을 사용해 힘이 한 일을 계산
3D 컴퓨터 그래픽스에서 조명 계산을 위한 표면 법선 구하기
기계공학에서 토크와 각운동량 계산
선형대수학 수업에서 두 벡터가 수직인지 평행인지 판단
방향과 자세와 관련된 로봇공학 및 게임 개발 계산

자주 묻는 질문

내적과 외적의 차이는 무엇인가요?

내적은 두 벡터가 얼마나 같은 방향을 향하는지를 나타내는 단일 스칼라 값을 반환하며, 두 벡터가 수직일 때 0이 됩니다. 외적은 두 입력 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터를 반환하며, 그 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다.

두 벡터 사이의 각도는 어떻게 구하나요?

두 벡터의 내적을 각 벡터 크기의 곱으로 나눈 다음, 그 비율의 역코사인(arccos)을 취합니다. 그 결과가 도(度) 또는 라디안 단위로 표현된 두 벡터 사이의 각도입니다.

내적이 0이라는 것은 무엇을 의미하나요?

내적이 0이라는 것은 두 벡터가 서로 수직(직교)임을 의미합니다 — 한 벡터에는 다른 벡터 방향의 성분이 전혀 없다는 뜻입니다.

이 계산기를 2차원 벡터에도 사용할 수 있나요?

네. 두 벡터의 z성분을 모두 0으로 두기만 하면, 계산기는 항상 x-y 평면에 그려지는 도형을 포함하여 완전히 2차원 벡터 계산기처럼 작동합니다.

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