Kalkulator Vektor

Kira hasil darab titik, hasil darab silang, magnitud, dan sudut antara dua vektor serta-merta, dengan rajah animasi langsung yang menunjukkan tepat bagaimana ia menunjuk dalam ruang.

Apakah Kalkulator Vektor?

Kalkulator vektor melaksanakan operasi asas algebra vektor: hasil darab titik, hasil darab silang, magnitud, dan sudut antara dua vektor. Vektor menggambarkan kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah — halaju, daya, sesaran, dan pecutan semuanya vektor — yang menjadikan matematik vektor penting kepada fizik, kejuruteraan, grafik 3D, robotik, dan pembelajaran mesin.

Hasil darab titik mengukur sejauh mana dua vektor sejajar dan digunakan untuk mengira kerja yang dilakukan oleh daya atau untuk menguji keberserenjangan. Hasil darab silang menghasilkan vektor yang berserenjang dengan kedua-dua input dan digunakan untuk mencari daya kilas, momentum sudut, dan normal permukaan dalam grafik 3D. Kalkulator ini mengira semua ini serta-merta dan melukis rajah 2D beranimasi bagi vektor anda supaya anda dapat melihat geometri, bukan sekadar nombor.

Rumus

Hasil Darab Titik: A·B = AxBx + AyBy + AzBz

Hasil Darab Silang: A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)

Magnitud: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²)

Sudut: θ = arccos( (A·B) / (|A|·|B|) )

Cara Mengira

Masukkan komponen x, y, dan z bagi Vektor A.
Masukkan komponen x, y, dan z bagi Vektor B (biarkan z pada 0 untuk vektor 2D).
Lihat hasil darab titik, hasil darab silang, magnitud setiap vektor, dan sudut antara mereka serta-merta.
Perhatikan rajah beranimasi dilukis semula untuk menunjukkan bagaimana kedua-dua vektor menunjuk relatif antara satu sama lain.

Contoh

Untuk A = (3, 2, 0) dan B = (1, 4, 0): hasil darab titik ialah 3×1 + 2×4 = 11, magnitud A ialah √13 ≈ 3.61, magnitud B ialah √17 ≈ 4.12, dan sudut antara mereka lebih kurang 42°.

Faedah Utama

Hasil darab titik, hasil darab silang, magnitud, dan sudut serta-merta di satu tempat
Rajah beranimasi menunjukkan hubungan geometri, bukan sekadar nombor
Berfungsi untuk kedua-dua vektor 2D (z = 0) dan vektor 3D penuh
Tiada trigonometri manual atau pengiraan punca kuasa dua diperlukan

Kesilapan Biasa

Mengelirukan hasil darab titik (skalar) dengan hasil darab silang (vektor)
Terlupa hasil darab silang hanya terpakai untuk vektor 3D, bukan 2D
Menggunakan darjah berbanding radian secara tidak konsisten semasa mengira sudut secara manual
Menganggap hasil darab silang sifar bermaksud vektor tidak berkaitan, sedangkan sebenarnya ia bermaksud mereka selari

Tips Pro

Hasil darab titik sifar serta-merta memberitahu anda vektor berserenjang — tiada keperluan mengira sudut
Hasil darab silang bagi vektor sifar memberitahu anda kedua-dua vektor selari (atau salah satu sifar)
Untuk masalah 2D, cuma biarkan z pada 0 — formula masih berfungsi dengan betul
Gunakan petua tangan kanan untuk meramalkan arah hasil darab silang sebelum menyemak keputusan yang dikira

Istilah Utama

Skalar: Satu nombor tunggal dengan magnitud tetapi tiada arah, seperti hasil darab titik
Magnitud: Panjang vektor, dikira dengan teorem Pythagoras
Ortogon: Perkataan lain untuk berserenjang, digunakan apabila hasil darab titik ialah sifar
Petua tangan kanan: Konvensyen untuk menentukan arah hasil darab silang

Kegunaan Biasa

Mengira kerja yang dilakukan oleh daya menggunakan hasil darab titik dalam masalah fizik
Mencari normal permukaan untuk pengiraan pencahayaan dalam grafik komputer 3D
Mengira daya kilas dan momentum sudut dalam kejuruteraan mekanikal
Menentukan sama ada dua vektor berserenjang atau selari dalam kerja kursus algebra linear
Pengiraan robotik dan pembangunan permainan yang melibatkan arah dan orientasi

Soalan Lazim

Apakah perbezaan antara hasil darab titik dan hasil darab silang?

Hasil darab titik memulangkan satu nombor skalar tunggal yang mewakili sejauh mana dua vektor menunjuk ke arah yang sama — ia sifar apabila mereka berserenjang. Hasil darab silang memulangkan vektor baharu yang berserenjang dengan kedua-dua input, dengan magnitud bersamaan dengan luas jajar genjang yang mereka bentuk.

Bagaimana anda mencari sudut antara dua vektor?

Bahagikan hasil darab titik kedua-dua vektor dengan hasil darab magnitud mereka, kemudian ambil kosinus songsang (arccos) bagi nisbah itu. Hasilnya ialah sudut antara mereka dalam darjah atau radian.

Apakah maksudnya apabila hasil darab titik ialah sifar?

Hasil darab titik sifar bermaksud kedua-dua vektor berserenjang (ortogon) antara satu sama lain — tiada komponen satu vektor dalam arah vektor yang lain.

Bolehkah saya menggunakan kalkulator ini untuk vektor 2D?

Ya. Cuma biarkan komponen-z pada 0 untuk kedua-dua vektor dan kalkulator akan berkelakuan tepat seperti kalkulator vektor 2D, termasuk rajah, yang sentiasa dilukis dalam satah x-y.

Alat berkaitan