Skip to main content
CalculoraCalculora

การเงิน & ธุรกิจ

เครื่องคำนวณการเงินการลงทุนและการวางแผนการเงินส่วนตัวการลงทุนอสังหาริมทรัพย์เครื่องมือธุรกิจสตาร์ทอัพและ SaaS

คณิตศาสตร์ & เทคโนโลยี

เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์เครื่องมือวิศวกรรมเครื่องมือฟิสิกส์เครื่องมือนักพัฒนาเครื่องมือสำหรับโรงเรียน

สุขภาพ & ชีวิต

เครื่องมือการแพทย์ยูทิลิตี้อัจฉริยะเครื่องมือสุ่ม

ครีเอเตอร์ & เฉพาะทาง

เศรษฐกิจผู้สร้างเครื่องมืออิสลามความยั่งยืนเกม

ตัวแปลง

ตัวแปลงหน่วยตัวแปลงความยาวตัวแปลงน้ำหนักตัวแปลงอุณหภูมิ→ ตัวแปลงหน่วย

ตัวสุ่ม

เครื่องสร้างตัวเลขสุ่มความแข็งแกร่งรหัสผ่านหมุนวงล้อเครื่องจำลองการโยนเหรียญเครื่องทอยลูกเต๋าการทับซ้อนเวลา→ เครื่องมือสุ่ม
ตัวแปลงไฟล์

PDF

แปลง PDF เป็น JPGแปลง PDF เป็น PNGแปลง PDF เป็น TXTแปลง PDF เป็น GIFแปลง PDF เป็น WebPแปลง PDF เป็น SVGแปลง PDF เป็น DOCXแปลง PDF เป็น Excelแปลง PDF เป็น PowerPointแปลง PDF เป็น HTMLแปลง PDF เป็น Markdownแปลง PDF เป็น TIFF

รูปภาพ

แปลง JPG เป็น PNGแปลง PNG เป็น JPGแปลง PNG เป็น WebPแปลง WebP เป็น PNGแปลง WebP เป็น JPGแปลง JPG เป็น WebPแปลง SVG เป็น PNGแปลง SVG เป็น JPGแปลง SVG เป็น WebPแปลง BMP เป็น PNGแปลง BMP เป็น JPGแปลง BMP เป็น WebP

รูปภาพขั้นสูง

แปลง HEIC เป็น JPGแปลง HEIC เป็น PNGแปลง TIFF เป็น JPGแปลง TIFF เป็น PNGแปลง JPG เป็น TIFFแปลง PNG เป็น TIFFแปลง JPG เป็น ICOแปลง PNG เป็น ICOแปลง JPEG เป็น AVIFแปลง PNG เป็น AVIF

GIF

แปลง GIF เป็น PNGแปลง GIF เป็น JPGแปลง GIF เป็นแต่ละเฟรม (PNG/JPEG)แปลง PNG เป็น GIFแปลง JPG เป็น GIFแปลง GIF เป็น WebP

แก้ไข

เพิ่มลายน้ำลบวัตถุในรูปภาพปรับขนาดรูปภาพทันทีในเบราว์เซอร์ของคุณบีบอัดรูปภาพออนไลน์ — ลดขนาดไฟล์ รักษาคุณภาพ
มา ท์ ส ปี ด ช แ ล ล้ งความท้าทายความเร็วคณิตศาสตร์เวิร์ดเดิลบินต์ วัลด์ซูโดกุ2048
แปลงสกุลเงิน
CalculoraCalculora

แพลตฟอร์มเครื่องคิดเลขครบวงจรของคุณ เครื่องมือฟรี รวดเร็ว และแม่นยำสำหรับทุกความต้องการ

ข้อมูลที่ป้อนในเครื่องคำนวณเป็นส่วนตัว 100% — การคำนวณทั้งหมดเกิดขึ้นในเบราว์เซอร์ของคุณและไม่เคยส่งไปยังเซิร์ฟเวอร์ของเราฟรีตลอดกาล — ไม่มีกำแพงการชำระเงิน ไม่มีการสมัครสมาชิก ไม่ต้องสร้างบัญชี

ยอดนิยม

  • เครื่องคำนวณ BMI
  • เครื่องคำนวณเงินกู้
  • เครื่องคำนวณอายุ
  • เครื่องคำนวณสินเชื่อบ้าน
  • เครื่องคำนวณเปอร์เซ็นต์
  • เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์
  • ดูทั้งหมด →

หมวดหมู่

  • คณิตศาสตร์
  • การเงิน
  • สุขภาพ & ชีวิต
  • การเงิน & ธุรกิจ
  • เครื่องมือนักพัฒนา
  • วิศวกรรม
  • หมวดหมู่ →

เพิ่มเติม

  • แปลงสกุลเงิน
  • ตัวแปลงไฟล์
  • เกมและเครื่องมือสนุก

กฎหมาย

  • เกี่ยวกับเรา
  • ติดต่อเรา
  • นโยบายความเป็นส่วนตัว
  • เงื่อนไขการใช้งาน
  • ข้อจำกัดความรับผิดชอบ
  • แผนผังเว็บไซต์

ภาษา

enEnglisharالعربيةesEspañoldeDeutschfrFrançaishiहिन्दीidBahasa IndonesiaitItalianoja日本語ko한국어ptPortuguêsruРусскийtrTürkçeviTiếng Việtbnবাংলাzh中文nlNederlandsplPolskiukУкраїнськаmsBahasa Melayuthภาษาไทย

© 2026 Calculora. สงวนลิขสิทธิ์ทุกประการ

สร้างด้วย — 100% ฟรี

เบาและรวดเร็ว — คุกกี้และการวิเคราะห์ทำงานเมื่อคุณยินยอมเท่านั้น

  1. หน้าแรก
  2. เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์
  3. เครื่องคำนวณเวกเตอร์

เครื่องคำนวณเวกเตอร์

คำนวณดอทโปรดักต์ ครอสโปรดักต์ ขนาด และมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวทันที พร้อมไดอะแกรมแอนิเมชันสดที่แสดงว่าพวกมันชี้ในอวกาศอย่างไร

กำลังโหลดเครื่องคำนวณ...
เครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ไหม?

เครื่องคำนวณเวกเตอร์ คืออะไร?

เครื่องคำนวณเวกเตอร์ดำเนินการพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์: ดอทโปรดักต์ ครอสโปรดักต์ ขนาด และมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว เวกเตอร์อธิบายปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง — ความเร็ว แรง การกระจัด และความเร่ง ล้วนเป็นเวกเตอร์ — ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์เวกเตอร์สำคัญต่อฟิสิกส์ วิศวกรรม กราฟิก 3D หุ่นยนต์ และการเรียนรู้ของเครื่อง ดอทโปรดักต์วัดว่าเวกเตอร์สองตัวจัดแนวกันแค่ไหน และใช้คำนวณงานที่ทำโดยแรงหรือทดสอบการตั้งฉาก ครอสโปรดักต์ผลิตเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับอินพุตทั้งสอง และใช้หาทอร์ก โมเมนตัมเชิงมุม และเวกเตอร์ปกติพื้นผิวในกราฟิก 3D เครื่องคำนวณนี้คำนวณทั้งหมดทันทีและวาดไดอะแกรม 2D แอนิเมชันของเวกเตอร์คุณเพื่อให้เห็นเรขาคณิต ไม่ใช่แค่ตัวเลข

เมื่อไหร่ควรใช้เครื่องคำนวณนี้

  • คุณกำลังแก้ปัญหาฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์แรง ความเร็ว หรือการกระจัด และต้องการดอทหรือครอสโปรดักต์
  • คุณกำลังคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวสำหรับการบ้านพีชคณิตเชิงเส้น
  • คุณต้องหาเวกเตอร์ปกติพื้นผิวสำหรับโปรเจกต์กราฟิก 3D หรือพัฒนาเกม
  • คุณกำลังคำนวณทอร์กหรือโมเมนตัมเชิงมุมในปัญหาวิศวกรรม
  • คุณกำลังตรวจสอบการคำนวณเวกเตอร์ด้วยมือและต้องการตรวจสอบงาน
  • คุณกำลังทำงานอัลกอริทึมหุ่นยนต์หรือคอมพิวเตอร์วิทัศน์ที่ต้องการดำเนินการเวกเตอร์

ขั้นตอน:

  1. ใส่องค์ประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์ A
  2. ใส่องค์ประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์ B (ปล่อย z ไว้ที่ 0 สำหรับเวกเตอร์ 2D)
  3. ดูดอทโปรดักต์ ครอสโปรดักต์ ขนาดของแต่ละเวกเตอร์ และมุมระหว่างพวกมันทันที
  4. ดูไดอะแกรมแอนิเมชันวาดใหม่เพื่อแสดงว่าเวกเตอร์สองตัวชี้สัมพันธ์กันอย่างไร

สูตร

ดอทโปรดักต์: A·B = AxBx + AyBy + AzBz ครอสโปรดักต์: A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx) ขนาด: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²) มุม: θ = arccos( (A·B) / (|A|·|B|) )

กรณีใช้งาน

  • คำนวณงานที่ทำโดยแรงใช้ดอทโปรดักต์ในปัญหาฟิสิกส์
  • หาเวกเตอร์ปกติพื้นผิวสำหรับการคำนวณแสงในกราฟิกคอมพิวเตอร์ 3D
  • คำนวณทอร์กและโมเมนตัมเชิงมุมในวิศวกรรมเครื่องกล
  • กำหนดว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากหรือขนานกันในวิชาพีชคณิตเชิงเส้น
  • การคำนวณหุ่นยนต์และการพัฒนาเกมที่เกี่ยวข้องกับทิศทางและการวางแนว

ประโยชน์หลัก

  • ดอทโปรดักต์ ครอสโปรดักต์ ขนาด และมุมทันทีในที่เดียว
  • ไดอะแกรมแอนิเมชันแสดงความสัมพันธ์ทางเรขาคณิต ไม่ใช่แค่ตัวเลข
  • ใช้ได้ทั้งเวกเตอร์ 2D (z = 0) และเวกเตอร์ 3D เต็ม
  • ไม่ต้องคำนวณตรีโกณมิติหรือรากที่สองด้วยมือ

เคล็ดลับ

  • ดอทโปรดักต์ศูนย์บอกทันทีว่าเวกเตอร์ตั้งฉาก — ไม่ต้องคำนวณมุม
  • ครอสโปรดักต์ของเวกเตอร์ศูนย์บอกว่าเวกเตอร์สองตัวขนานกัน (หรือหนึ่งตัวเป็นศูนย์)
  • สำหรับปัญหา 2D เพียงปล่อย z ไว้ที่ 0 — สูตรยังทำงานถูกต้อง
  • ใช้กฎมือขวาทำนายทิศทางครอสโปรดักต์ก่อนตรวจสอบผลลัพธ์ที่คำนวณ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

  • สับสนดอทโปรดักต์ (สเกลาร์) กับครอสโปรดักต์ (เวกเตอร์)
  • ลืมว่าครอสโปรดักต์ใช้กับเวกเตอร์ 3D เท่านั้น ไม่ใช่ 2D
  • ใช้หน่วยองศาเทียบกับเรเดียนไม่สอดคล้องกันเมื่อคำนวณมุมด้วยมือ
  • สมมติว่าครอสโปรดักต์ศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์ไม่เกี่ยวข้องกัน เมื่อจริงๆ หมายความว่าขนานกัน

คำศัพท์สำคัญ

  • สเกลาร์: ตัวเลขเดียวที่มีขนาดแต่ไม่มีทิศทาง เช่น ผลลัพธ์ดอทโปรดักต์
  • ขนาด: ความยาวของเวกเตอร์ คำนวณด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
  • ออร์ธอกอนัล: คำอื่นสำหรับตั้งฉาก ใช้เมื่อดอทโปรดักต์เป็นศูนย์
  • กฎมือขวา: กฎเกณฑ์สำหรับกำหนดทิศทางครอสโปรดักต์

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

  • ดอทโปรดักต์ (ผลคูณสเกลาร์): ผลลัพธ์สเกลาร์เท่ากับผลคูณของขนาดเวกเตอร์สองตัวและโคไซน์ของมุมระหว่างพวกมัน วัดการจัดแนว
  • ครอสโปรดักต์ (ผลคูณเวกเตอร์): เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์อินพุตทั้งสอง มีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กาง
  • ขนาด (นอร์ม): ความยาวของเวกเตอร์ คำนวณเป็นรากที่สองของผลรวมขององค์ประกอบกำลังสอง
  • เวกเตอร์ออร์ธอกอนัล: เวกเตอร์สองตัวที่ดอทโปรดักต์เป็นศูนย์ หมายความว่าตั้งฉากกัน
  • กฎมือขวา: กฎเกณฑ์สำหรับกำหนดทิศทางครอสโปรดักต์: งอนิ้วจาก A ไป B นิ้วหัวแม่มือชี้ทิศทาง A×B

ตัวอย่าง

สำหรับ A = (3, 2, 0) และ B = (1, 4, 0): ดอทโปรดักต์คือ 3×1 + 2×4 = 11, ขนาดของ A คือ √13 ≈ 3.61, ขนาดของ B คือ √17 ≈ 4.12, และมุมระหว่างพวกมันประมาณ 42°

การตีความผลลัพธ์

เครื่องคำนวณคำนวณคุณสมบัติเวกเตอร์สำคัญสี่อย่างพร้อมกัน: ดอทโปรดักต์ (สเกลาร์วัดการจัดแนว) ครอสโปรดักต์ (เวกเตอร์ตั้งฉากกับอินพุตทั้งสอง) ขนาดของแต่ละเวกเตอร์ และมุมระหว่างพวกมัน ดอทโปรดักต์บอกคุณว่าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกันมากแค่ไหน — ค่าบวกหมายความว่าจัดแนวกันโดยทั่วไป ศูนย์หมายความว่าตั้งฉาก และลบหมายความว่าตรงข้ามกันโดยทั่วไป ขนาดของครอสโปรดักต์เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์สองตัว และทิศทางเป็นไปตามกฎมือขวา ถ้าครอสโปรดักต์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ เวกเตอร์อินพุตขนานกัน (หรือหนึ่งเป็นศูนย์) มุมคำนวณจากสูตรดอทโปรดักต์: cos(θ) = (A·B) / (|A|·|B|) แล้วใช้โคไซน์ผกผัน ไดอะแกรมแอนิเมชันวาดเวกเตอร์ทั้งสองจากจุดกำเนิดในระนาบ x-y (สำหรับ 2D) หรือฉายบนระนาบ x-y (สำหรับ 3D) ใช้เพื่อยืนยันด้วยตาว่ามุมและขนาดที่คำนวณสมเหตุสมผล — ถ้าไดอะแกรมแสดงเวกเตอร์ที่ประมาณ 90° แต่ผลลัพธ์มุมบอกว่า 85° อาจมีบางอย่างผิดกับค่าอินพุตของคุณ

คำถามที่พบบ่อย

ดอทโปรดักต์และครอสโปรดักต์ต่างกันอย่างไร?
ดอทโปรดักต์ส่งกลับตัวเลขสเกลาร์เดียวที่แสดงว่าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกันมากแค่ไหน — เป็นศูนย์เมื่อตั้งฉาก ครอสโปรดักต์ส่งกลับเวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับอินพุตทั้งสอง โดยมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่พวกมันสร้าง
หามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวอย่างไร?
หารดอทโปรดักต์ของเวกเตอร์สองตัวด้วยผลคูณของขนาด จากนั้นใช้โคไซน์ผกผัน (arccos) ของอัตราส่วนนั้น ผลลัพธ์คือมุมระหว่างพวกมันในหน่วยองศาหรือเรเดียน
ดอทโปรดักต์เป็นศูนย์หมายความว่าอย่างไร?
ดอทโปรดักต์เป็นศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉาก (ออร์ธอกอนัล) ต่อกัน — ไม่มีองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งในทิศทางของอีกเวกเตอร์
ใช้เครื่องคำนวณนี้สำหรับเวกเตอร์ 2D ได้ไหม?
ได้ เพียงปล่อยองค์ประกอบ z ไว้ที่ 0 สำหรับเวกเตอร์ทั้งสอง และเครื่องคำนวณจะทำงานเหมือนเครื่องคำนวณเวกเตอร์ 2D ทุกประการ รวมถึงไดอะแกรม ที่วาดในระนาบ x-y เสมอ
ความหมายทางเรขาคณิตของดอทโปรดักต์คืออะไร?
ทางเรขาคณิต A·B = |A|·|B|·cos(θ) เท่ากับขนาดของ A คูณการฉายของ B บน A (หรือกลับกัน) หากคุณจินตนาการส่องแสงตั้งฉากกับ A ดอทโปรดักต์บอกคุณว่าเงาของ B ตกตาม A มากแค่ไหน ค่าบวกหมายความว่า B มีองค์ประกอบในทิศทางของ A; ศูนย์หมายความว่าตั้งฉาก
ทำไมครอสโปรดักต์นิยามเฉพาะใน 3D?
ครอสโปรดักต์ผลิตเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับอินพุตทั้งสอง ซึ่งต้องมีสามมิติจึงจะ存在 ใน 2D ไม่มีมิติที่สามให้ผลลัพธ์ชี้ สำหรับปัญหา 2D คุณสามารถคำนวณองค์ประกอบ z สเกลาร์ของครอสโปรดักต์ (Ax·By - Ay·Bx) ซึ่งเป็นตัวเลขเดียวแทนเวกเตอร์
เวกเตอร์สองตัวขนานกันหมายความว่าอย่างไร?
เวกเตอร์ขนานชี้ไปในทิศทางเดียวกันหรือตรงข้ามกัน ครอสโปรดักต์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ และมุมระหว่างพวกมันคือ 0° (ทิศทางเดียวกัน) หรือ 180° (ทิศทางตรงข้าม) ดอทโปรดักต์เท่ากับผลคูณของขนาด (หรือค่าลบสำหรับทิศทางตรงข้าม)
ใช้คำนวณแรงหรือความเร็วได้ไหม?
ได้ แรงและความเร็วเป็นเวกเตอร์ทั้งคู่ ใช้ดอทโปรดักต์คำนวณงานที่ทำโดยแรง (W = F·d) และครอสโปรดักต์หาทอร์ก (τ = r×F) สำหรับความเร็ว ดอทโปรดักต์กับเวกเตอร์การกระจัดให้องค์ประกอบของความเร็วในทิศทางนั้น
ความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ครอสโปรดักต์กับสามเหลี่ยมคืออะไร?
ขนาดของครอสโปรดักต์ A×B เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กางโดย A และ B ครึ่งหนึ่งของขนาดนั้นเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจาก A และ B นี่คือวิธีทางเลือกในการคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมเมื่อรู้ด้านสองด้านเป็นเวกเตอร์
ตีความดอทโปรดักต์ลบอย่างไร?
ดอทโปรดักต์ลบหมายความว่ามุมระหว่างเวกเตอร์มากกว่า 90° — พวกมันชี้ไปในทิศทางตรงข้ามกันโดยทั่วไป ค่ายิ่งลบมาก (เทียบกับผลคูณของขนาด) เวกเตอร์ยิ่งใกล้ชี้ไปในทิศทางตรงข้ามกันเป๊ะ (เข้าใกล้ 180°)
เวกเตอร์และสเกลาร์ต่างกันอย่างไร?
สเกลาร์คือตัวเลขเดียวที่มีเพียงขนาด (เช่น อุณหภูมิหรือมวล) เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง (เช่น แรงหรือความเร็ว) ดอทโปรดักต์แปลงเวกเตอร์สองตัวเป็นสเกลาร์ ในขณะที่ครอสโปรดักต์แปลงเวกเตอร์สองตัวเป็นเวกเตอร์อื่น

เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง

สำรวจเครื่องมือเพิ่มเติม

เครื่องคำนวณเมทริกซ์

เครื่องคำนวณเปอร์เซ็นต์

เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์

เครื่องคำนวณเศษส่วน

เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง

เครื่องแก้สมการ

เครื่องมือที่คล้ายกัน

เครื่องคำนวณเมทริกซ์
เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์
เครื่องคำนวณเปอร์เซ็นต์
เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์
เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์
เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์
เครื่องคำนวณเศษส่วน
เครื่องคำนวณคณิตศาสตร์
เวกเตอร์ A
เวกเตอร์ B
ดอทโปรดักต์ (A·B)
11
ขนาด |A|
3.606
ขนาด |B|
4.123
มุมระหว่างเวกเตอร์
42.27°
ครอสโปรดักต์ (A×B)
(0, 0, 10)