Векторний калькулятор

Миттєво обчислюйте скалярний добуток, векторний добуток, модуль та кут між двома векторами за допомогою живої анімованої діаграми, що точно показує, як вони спрямовані у просторі.

Що таке Векторний калькулятор?

Векторний калькулятор виконує фундаментальні операції векторної алгебри: скалярний добуток, векторний добуток, модуль та кут між двома векторами. Вектори описують величини, що мають як модуль, так і напрямок — швидкість, сила, переміщення та прискорення є векторами — що робить векторну математику необхідною для фізики, інженерії, 3D-графіки, робототехніки та машинного навчання.

Скалярний добуток вимірює, наскільки узгоджені два вектори, і використовується для обчислення роботи сили або перевірки перпендикулярності. Векторний добуток дає вектор, перпендикулярний до обох вхідних векторів, і використовується для знаходження моменту сили, моменту імпульсу та нормалей поверхні у 3D-графіці. Цей калькулятор миттєво обчислює все це та малює анімовану 2D-діаграму ваших векторів, щоб ви бачили геометрію, а не лише числа.

Формула

Скалярний добуток: A·B = AxBx + AyBy + AzBz

Векторний добуток: A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)

Модуль: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²)

Кут: θ = arccos( (A·B) / (|A|·|B|) )

Як розрахувати

Введіть компоненти x, y та z Вектора A.
Введіть компоненти x, y та z Вектора B (залиште z рівним 0 для 2D-векторів).
Миттєво перегляньте скалярний добуток, векторний добуток, модуль кожного вектора та кут між ними.
Спостерігайте, як анімована діаграма перемальовується, показуючи, як два вектори спрямовані один відносно одного.

Приклад

Для A = (3, 2, 0) та B = (1, 4, 0): скалярний добуток дорівнює 3×1 + 2×4 = 11, модуль A дорівнює √13 ≈ 3,61, модуль B дорівнює √17 ≈ 4,12, а кут між ними становить приблизно 42°.

Ключові переваги

Миттєвий скалярний добуток, векторний добуток, модуль та кут в одному місці
Анімована діаграма показує геометричний зв'язок, а не лише числа
Працює як для 2D-векторів (z = 0), так і для повних 3D-векторів
Не потрібні ручна тригонометрія чи обчислення квадратного кореня

Поширені помилки

Плутання скалярного добутку (число) з векторним добутком (вектор)
Забування, що векторний добуток застосовується лише до 3D-векторів, а не 2D
Непослідовне використання градусів і радіанів при обчисленні кута вручну
Припущення, що нульовий векторний добуток означає, що вектори не пов'язані, тоді як насправді це означає, що вони паралельні

Поради

Скалярний добуток, що дорівнює нулю, одразу показує, що вектори перпендикулярні — немає потреби обчислювати кут
Векторний добуток, що дорівнює нульовому вектору, показує, що два вектори паралельні (або один із них нульовий)
Для 2D-задач просто залиште z рівним 0 — формули все одно працюватимуть правильно
Використовуйте правило правої руки, щоб передбачити напрямок векторного добутку перед перевіркою обчисленого результату

Ключові терміни

Скаляр: Одне число, що має величину, але не має напрямку, наприклад результат скалярного добутку
Модуль: Довжина вектора, обчислена за теоремою Піфагора
Ортогональний: Інше слово для перпендикулярного, яке використовується, коли скалярний добуток дорівнює нулю
Правило правої руки: Умовне правило для визначення напрямку векторного добутку

Типові випадки використання

Обчислення роботи сили за допомогою скалярного добутку у фізичних задачах
Знаходження нормалей поверхні для розрахунків освітлення в 3D-комп'ютерній графіці
Обчислення моменту сили та моменту імпульсу в машинобудуванні
Визначення, чи є два вектори перпендикулярними чи паралельними, на заняттях з лінійної алгебри
Розрахунки для робототехніки та розробки ігор, пов'язані з напрямком та орієнтацією

Часті запитання

У чому різниця між скалярним і векторним добутком?

Скалярний добуток повертає одне скалярне число, що показує, наскільки два вектори спрямовані в одному напрямку — воно дорівнює нулю, коли вони перпендикулярні. Векторний добуток повертає новий вектор, перпендикулярний до обох вхідних векторів, з модулем, що дорівнює площі паралелограма, який вони утворюють.

Як знайти кут між двома векторами?

Поділіть скалярний добуток двох векторів на добуток їхніх модулів, а потім візьміть обернений косинус (арккосинус) цього відношення. Результат — це кут між ними в градусах або радіанах.

Що означає, коли скалярний добуток дорівнює нулю?

Скалярний добуток, що дорівнює нулю, означає, що два вектори перпендикулярні (ортогональні) один до одного — жодна складова одного вектора не спрямована в бік іншого.

Чи можу я використовувати цей калькулятор для 2D-векторів?

Так. Просто залиште z-компоненту рівною 0 для обох векторів, і калькулятор працюватиме точно як 2D-векторний калькулятор, включно з діаграмою, яка завжди малюється у площині x-y.