Калькулятор Квадратного Рівняння

Q: Чи може a дорівнювати нулю в квадратному рівнянні?

Ні. Якщо a = 0, член x² зникає, і рівняння стає лінійним (bx + c = 0), а не квадратним. Формула коренів вимагає a ≠ 0.

Q: Як знайти вершину параболи за a, b і c?

x-координата вершини дорівнює -b/2a. Підставте це значення назад у вихідне рівняння, щоб отримати відповідну y-координату, c - b²/4a.

Розв'яжіть будь-яке квадратне рівняння миттєво за допомогою нашого безкоштовного калькулятора. Показує дискримінант, дійсні або комплексні корені, вершину та вісь симетрії з покроковим розв'язанням.

Що таке Калькулятор Квадратного Рівняння?

Квадратне рівняння має стандартний вигляд ax² + bx + c = 0, де a, b і c — константи, а a ≠ 0. Воно називається «квадратним», тому що найвищий степінь x дорівнює 2. Квадратні рівняння описують параболи — криві U-подібної форми — і трапляються всюди в алгебрі, фізиці, інженерії та розв'язанні повсякденних задач, від розрахунку траєкторій снарядів до оптимізації площ і прибутку.

Цей калькулятор використовує формулу коренів квадратного рівняння, один із найважливіших результатів алгебри, для знаходження точних коренів будь-якого квадратного рівняння, дійсних чи комплексних.

Формула

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Дискримінант: Δ = b² - 4ac

Якщо Δ > 0: два різних дійсних корені

Якщо Δ = 0: один кратний дійсний корінь

Якщо Δ < 0: два комплексно-спряжені корені

Вершина: x = -b/2a, y = c - b²/4a

Як розрахувати

Введіть коефіцієнти a, b і c вашого рівняння ax² + bx + c = 0.
Калькулятор обчислює дискримінант (b² - 4ac), щоб визначити тип коренів.
Застосовується формула коренів для знаходження точних значень коренів.
Перегляньте повне покрокове розв'язання, а також вершину та вісь симетрії.

Приклад

Для x² - 3x + 2 = 0 (a=1, b=-3, c=2): дискримінант дорівнює (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. Оскільки Δ > 0, є два дійсних корені: x = (3 ± 1) / 2, тобто x₁ = 2 і x₂ = 1.

Ключові переваги

Миттєві, точні корені для будь-якого квадратного рівняння
Автоматично обробляє дійсні та комплексні корені
Повне покрокове розв'язання, а не лише кінцева відповідь
Також показує вершину та вісь симетрії

Поширені помилки

Забути знак ±, що дає лише один із двох коренів
Переплутати знаки b і c при підстановці у формулу
Вважати, що від'ємний дискримінант означає «немає розв'язку», а не «комплексні розв'язки»
Неправильне ділення на 2a, коли a від'ємне

Поради

Якщо a, b і c діляться на спільний множник, спочатку спростіть рівняння
Перевірте відповідь, підставивши кожен корінь назад у вихідне рівняння
Швидкий спосіб оцінити знак: якщо a і c мають протилежні знаки, дискримінант гарантовано додатний
Сума коренів завжди дорівнює -b/a, а добуток завжди дорівнює c/a

Ключові терміни

Дискримінант: Вираз b² - 4ac, що визначає природу коренів
Корінь: Значення x, яке задовольняє рівняння
Вершина: Точка перегину параболи, мінімум або максимум
Вісь Симетрії: Вертикальна лінія x = -b/2a, відносно якої відображена парабола

Типові випадки використання

Розв'язання та перевірка домашніх завдань з алгебри
Знаходження вершини траєкторії та точки приземлення снаряда у фізиці
Оптимізація функцій площі, прибутку чи виручки в бізнесі та інженерії
Підготовка до стандартизованих іспитів

Часті запитання

Що таке формула коренів квадратного рівняння?

Формула коренів: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Вона розв'язує будь-яке рівняння вигляду ax² + bx + c = 0, надаючи обидва корені безпосередньо з коефіцієнтів a, b і c.

Що означає від'ємний дискримінант?

Від'ємний дискримінант (b² - 4ac < 0) означає, що рівняння не має дійсних коренів — парабола ніколи не торкається осі x. Натомість вона має два комплексно-спряжені корені вигляду p ± qi.

Чи може a дорівнювати нулю в квадратному рівнянні?

Ні. Якщо a = 0, член x² зникає, і рівняння стає лінійним (bx + c = 0), а не квадратним. Формула коренів вимагає a ≠ 0.

Як знайти вершину параболи за a, b і c?

x-координата вершини дорівнює -b/2a. Підставте це значення назад у вихідне рівняння, щоб отримати відповідну y-координату, c - b²/4a.