رياضية

حاسبة المعادلة التربيعية

حل أي معادلة تربيعية فوراً باستخدام حاسبتنا المجانية. تعرض المميز والجذور الحقيقية أو التخيلية والقمة ومحور التماثل مع خطوات الحل الكاملة.

هل ساعدتك هذه الأداة؟

ما هي حاسبة المعادلة التربيعية؟

المعادلة التربيعية لها الصيغة القياسية ax² + bx + c = 0، حيث a وb وc ثوابت وa ≠ 0. تسمى "تربيعية" لأن أعلى قوة للمتغير x هي 2. تصف المعادلات التربيعية القطوع المكافئة — منحنيات على شكل حرف U — وتظهر في الجبر والفيزياء والهندسة وحل المشكلات اليومية، من حساب مسارات القذائف إلى تحسين المساحات والأرباح. تستخدم هذه الحاسبة القانون العام، أحد أهم نتائج الجبر، لإيجاد الجذور الدقيقة لأي معادلة تربيعية، سواء كانت هذه الجذور أعداداً حقيقية أو تخيلية.

متى تستخدم هذه الآلة الحاسبة

  • حل أي معادلة تربيعية من الصيغة ax² + bx + c = 0 بسرعة ودقة
  • تحديد عدد ونوع الجذور من المميز قبل الحل
  • إيجاد القمة ومحور التماثل للقطع المكافئ دون رسم بياني
  • التحقق من واجبات الجبر المحلولة يدوياً وإجابات الامتحانات وتمارين التدريب
  • نمذجة حركة القذائف وتحسين المساحات ودوال الربح في الرياضيات التطبيقية
  • التحضير للاختبارات المعيارية مثل SAT و ACT و GCSE

الخطوات:

  1. أدخل المعاملات a وb وc من معادلتك ax² + bx + c = 0.
  2. تحسب الحاسبة المميز (b² - 4ac) لتحديد نوع الجذور.
  3. يُطبَّق القانون العام لإيجاد قيم الجذور الدقيقة.
  4. راجع الحل الكامل خطوة بخطوة، بالإضافة إلى القمة ومحور التماثل.

الصيغة

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a المميز: Δ = b² - 4ac إذا Δ > 0: جذران حقيقيان مختلفان إذا Δ = 0: جذر حقيقي واحد مكرر إذا Δ < 0: جذران تخيليان مترافقان القمة: x = -b/2a، y = c - b²/4a

حالات الاستخدام

  • حل واجبات الجبر والتحقق من صحة الحل
  • إيجاد ذروة مسار القذيفة ونقطة سقوطها في الفيزياء
  • تحسين دوال المساحة أو الربح أو الإيراد في الأعمال والهندسة
  • التحضير للاختبارات المعيارية

الفوائد الرئيسية

  • جذور فورية ودقيقة لأي معادلة تربيعية
  • يتعامل تلقائياً مع الجذور الحقيقية والتخيلية
  • حل كامل خطوة بخطوة وليس الإجابة النهائية فقط
  • يعرض أيضاً القمة ومحور التماثل

نصائح احترافية

  • إذا كانت a وb وc جميعها قابلة للقسمة على عامل مشترك، بسّط المعادلة أولاً
  • تحقق من إجابتك بالتعويض بكل جذر في المعادلة الأصلية
  • طريقة سريعة لتقدير إشارة الجذر الحقيقي: إذا كانت a وc بإشارتين متعاكستين، فالمميز موجب حتماً
  • مجموع الجذور دائماً -b/a، وحاصل ضربهما دائماً c/a

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

  • نسيان علامة ± مما ينتج جذراً واحداً فقط من الجذرين
  • الخلط بين إشارتي b وc عند التعويض في القانون
  • افتراض أن المميز السالب يعني "لا حل" بدلاً من "حلول تخيلية"
  • القسمة على 2a بشكل خاطئ عندما تكون a سالبة

شرح المصطلحات الأساسية

المميز: التعبير b² - 4ac الذي يحدد طبيعة الجذور
الجذر: قيمة x التي تحقق المعادلة
القمة: نقطة انعطاف القطع المكافئ، إما أدنى أو أعلى نقطة
محور التماثل: الخط الرأسي x = -b/2a الذي ينعكس عليه القطع المكافئ

مفاهيم ذات صلة

  • تُتعامل الحلول العامة للمعادلات متعددة الحدود بواسطة حلّال المعادلات.
  • جذور المعادلة التربيعية هي نقاط تقاطع محور السينات الظاهرة على الحاسبة الرسومية.
  • تُحسب القوى والجذور التربيعية داخل القانون بواسطة حاسبة الأسس.
  • يُقاس ميل المستقيمات والمنحنيات المرتبطة بالمعادلات التربيعية بواسطة حاسبة الميل.
  • تُحسب النقاط والقمم والمسافات على المستوى الإحداثي بواسطة حاسبة الهندسة الإحداثية.

مثال

للمعادلة x² - 3x + 2 = 0 (a=1, b=-3, c=2): المميز هو (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. بما أن Δ > 0، يوجد جذران حقيقيان: x = (3 ± 1) / 2، أي x₁ = 2 وx₂ = 1.

تفسير نتائجك

المميز Δ = b² - 4ac هو النتيجة الأساسية. عندما Δ > 0 يقطع القطع المكافئ محور السينات مرتين ويكون هناك جذران حقيقيان مختلفان. عندما Δ = 0 يلامس القطع المكافئ المحور عند نقطة واحدة، مما يعطي جذراً حقيقياً واحداً مكرراً. عندما Δ < 0 لا توجد تقاطعات حقيقية، فقط جذران تخيليان مترافقان. الجذور نفسها هي قيم x التي يقطع عندها القطع المكافئ المحور، والقمة، التي تقع عند x = -b/2a، تقع تماماً على محور التماثل في منتصف المسافة بين الجذرين الحقيقيين.

الأسئلة الشائعة

ما هو القانون العام للمعادلة التربيعية؟
القانون العام هو x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. يحل أي معادلة من الصيغة ax² + bx + c = 0 بإعطاء الجذرين مباشرة من المعاملات a وb وc.
ماذا يعني المميز السالب؟
المميز السالب (b² - 4ac < 0) يعني أن المعادلة لا تملك جذوراً حقيقية — القطع المكافئ لا يلامس محور السينات أبداً. بدلاً من ذلك، له جذران تخيليان مترافقان من الصيغة p ± qi.
هل يمكن أن تساوي a صفراً في المعادلة التربيعية؟
لا. إذا كانت a = 0، يختفي حد x² وتصبح المعادلة خطية (bx + c = 0) وليست تربيعية. يتطلب القانون العام أن تكون a ≠ 0.
كيف أجد قمة القطع المكافئ من a وb وc؟
إحداثي x للقمة هو -b/2a. عوّض هذه القيمة في المعادلة الأصلية لإيجاد إحداثي y المقابل، c - b²/4a.
كيف أحل معادلة تربيعية بإكمال المربع؟
انقل الثابت إلى الطرف الأيمن، وأضف مربع نصف معامل x إلى الطرفين، ثم خذ الجذر التربيعي. للمعادلة x² + 6x + 8 = 0، أعد كتابتها على الصورة x² + 6x = -8، وأضف (6/2)² = 9 إلى الطرفين لنحصل على x² + 6x + 9 = 1، والتي تُحلَّل إلى (x + 3)² = 1. وبأخذ الجذر التربيعي نحصل على x + 3 = ±1، إذن x = -3 ± 1، أي x = -2 وx = -4.
كيف أحل معادلة تربيعية بالتحليل إلى عوامل؟
حلّل المعادلة التربيعية إلى حدّيتن وضع كل عامل يساوي صفراً. للمعادلة x² - 5x + 6 = 0، ابحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما -5، وهما -2 و-3، لذا تُحلَّل إلى (x - 2)(x - 3) = 0. بجعل كل عامل يساوي صفراً نحصل على x - 2 = 0 أو x - 3 = 0، إذن الجذران هما x = 2 وx = 3. التحليل يعمل فقط عندما تكون الجذور أعداداً ناطقة؛ وإلا استخدم القانون العام.
ما هو محور التماثل للقطع المكافئ؟
محور التماثل هو الخط الرأسي x = -b/2a الذي يقسم القطع المكافئ إلى صورتين متطابقتين بالانعكاس، ويمر دائماً بالقمة. للمعادلة x² - 4x + 3 = 0، مع a = 1 وb = -4، المحور هو x = -(-4)/(2 × 1) = 2. يقع الجذران الحقيقيان لأي معادلة دائماً على مسافتين متساويتين من جانبي هذا الخط.
كيف تبدو الجذور التخيلية؟
عندما يكون المميز سالباً، تتضمن الجذور الوحدة التخيلية i، حيث i² = -1. للمعادلة x² + 1 = 0، يعطي القانون x = ±√(-1)، وتُكتب على الصورة x = i وx = -i. كل معادلة تربيعية بمعاملات حقيقية تكون جذورها التخيلية في أزواج مترافقة، فإذا كان a + bi جذراً، فإن a - bi هو الجذر الآخر، ومجموعهما يساوي 2a وحاصل ضربهما يساوي a² + b².
كيف أحل معادلة تربيعية بمعاملات كسرية أو عشرية؟
اضرب المعادلة كاملة في المقام المشترك لحذف الكسور أولاً، ثم حلّ بالطريقة المعتادة. للمعادلة (1/2)x² - x + 1/2 = 0، اضرب كل حد في 2 لنحصل على x² - 2x + 1 = 0، والتي تُحلَّل إلى (x - 1)² = 0. إذن للمعادلة جذر مكرر واحد x = 1. حذف الكسور يتجنب الأخطاء ويبقي المعاملات أعداداً صحيحة بسيطة.
كيف أحل معادلة فرق مربعين؟
فرق المربعين a² - b² يُحلَّل إلى (a - b)(a + b). للمعادلة x² - 9 = 0، اعتبر x² هي a² و9 هي b² حيث b = 3، لذا تُحلَّل إلى (x - 3)(x + 3) = 0. بجعل كل عامل يساوي صفراً نحصل على x - 3 = 0 أو x + 3 = 0، إذن الجذران هما x = 3 وx = -3. هذا النمط يُحل فوراً دون الحاجة إلى القانون العام.
أي طريقة يجب أن أختار: التحليل، أم إكمال المربع، أم القانون العام؟
جرّب التحليل أولاً عندما تبدو الجذور ناطقة والأعداد صغيرة، لأنه الأسرع. استخدم إكمال المربع عندما يكون المعامل الرئيسي للمعادلة 1 وتحتاج أيضاً إلى إعادة كتابتها على الصورة الرأسية. استخدم القانون العام لكل الحالات الأخرى، لأنه يعمل دائماً، بما في ذلك الجذور غير الناطقة والتخيلية. الطرق الثلاث تعطي نتائج متطابقة عند تطبيقها بشكل صحيح.

اكتشف المزيد من الأدوات

تشكيلة جديدة من مكتبتنا الكاملة للأدوات.

حاسبة العمر

حاسبة مقارنة السيارات الكهربائية والبنزين

حاسبة صافي الدخل التشغيلي

حاسبة الاستقلال المالي

حاسبة المقاومة التوالي والتوازي

حاسبة روث إيرا