Quadratische-Gleichung-Rechner

Q: Kann a in einer quadratischen Gleichung null sein?

Nein. Ist a = 0, verschwindet der x²-Term und die Gleichung wird linear (bx + c = 0), nicht quadratisch. Die quadratische Formel erfordert a ≠ 0.

Q: Wie finde ich den Scheitelpunkt einer Parabel aus a, b und c?

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist -b/2a. Setze diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein, um die zugehörige y-Koordinate c - b²/4a zu erhalten.

Löse jede quadratische Gleichung sofort mit unserem kostenlosen Rechner. Zeigt Diskriminante, reelle oder komplexe Nullstellen, Scheitelpunkt und Symmetrieachse mit vollständigem Lösungsweg.

Was ist Quadratische-Gleichung-Rechner?

Eine quadratische Gleichung hat die Standardform ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c Konstanten sind und a ≠ 0. Sie heißt „quadratisch“, weil die höchste Potenz von x gleich 2 ist. Quadratische Gleichungen beschreiben Parabeln — U-förmige Kurven — und tauchen überall in Algebra, Physik, Technik und im Alltag auf, von Wurfbahnen bis zur Optimierung von Flächen und Gewinnen.

Dieser Rechner nutzt die quadratische Formel, eines der wichtigsten Ergebnisse der Algebra, um die exakten Nullstellen jeder quadratischen Gleichung zu finden, egal ob reell oder komplex.

Formel

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Diskriminante: Δ = b² - 4ac

Δ > 0: zwei verschiedene reelle Nullstellen

Δ = 0: eine doppelte reelle Nullstelle

Δ < 0: zwei komplex konjugierte Nullstellen

Scheitelpunkt: x = -b/2a, y = c - b²/4a

Berechnung

Gib die Koeffizienten a, b und c deiner Gleichung ax² + bx + c = 0 ein.
Der Rechner berechnet die Diskriminante (b² - 4ac), um die Art der Nullstellen zu bestimmen.
Die quadratische Formel wird angewendet, um die exakten Nullstellen zu finden.
Sieh dir den vollständigen Lösungsweg an, plus Scheitelpunkt und Symmetrieachse.

Beispiel

Für x² - 3x + 2 = 0 (a=1, b=-3, c=2): Die Diskriminante ist (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. Da Δ > 0, gibt es zwei reelle Nullstellen: x = (3 ± 1) / 2, also x₁ = 2 und x₂ = 1.

Hauptvorteile

Sofortige, exakte Nullstellen für jede quadratische Gleichung
Behandelt automatisch reelle und komplexe Nullstellen
Vollständiger Lösungsweg, nicht nur das Endergebnis
Zeigt auch Scheitelpunkt und Symmetrieachse

Häufige Fehler vermeiden

Das ±-Zeichen vergessen, wodurch nur eine der beiden Nullstellen entsteht
Vorzeichen von b und c beim Einsetzen in die Formel vertauschen
Annehmen, eine negative Diskriminante bedeute „keine Lösung“ statt „komplexe Lösungen“
Falsches Teilen durch 2a, wenn a negativ ist

Professionelle Tipps

Wenn a, b und c einen gemeinsamen Teiler haben, vereinfache die Gleichung zuerst
Überprüfe deine Antwort, indem du jede Nullstelle in die ursprüngliche Gleichung einsetzt
Schnelle Abschätzung: Haben a und c unterschiedliche Vorzeichen, ist die Diskriminante garantiert positiv
Die Summe der Nullstellen ist immer -b/a, das Produkt immer c/a

Wichtige Begriffe erklärt

Diskriminante: Der Ausdruck b² - 4ac, der die Art der Nullstellen bestimmt
Nullstelle: Ein Wert von x, der die Gleichung erfüllt
Scheitelpunkt: Der Wendepunkt der Parabel, Minimum oder Maximum
Symmetrieachse: Die vertikale Linie x = -b/2a, an der die Parabel gespiegelt ist

Häufige Anwendungsfälle

Algebra-Hausaufgaben lösen und überprüfen
Höhepunkt und Landepunkt einer Wurfbahn in der Physik finden
Flächen-, Gewinn- oder Umsatzfunktionen in Wirtschaft und Technik optimieren
Vorbereitung auf standardisierte Tests

Häufig gestellte Fragen

Was ist die quadratische Formel (Mitternachtsformel)?

Die quadratische Formel lautet x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Sie löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, indem sie beide Nullstellen direkt aus den Koeffizienten a, b und c liefert.

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Eine negative Diskriminante (b² - 4ac < 0) bedeutet, dass die Gleichung keine reellen Nullstellen hat — die Parabel berührt die x-Achse nie. Stattdessen hat sie zwei komplex konjugierte Nullstellen der Form p ± qi.

Kann a in einer quadratischen Gleichung null sein?

Nein. Ist a = 0, verschwindet der x²-Term und die Gleichung wird linear (bx + c = 0), nicht quadratisch. Die quadratische Formel erfordert a ≠ 0.

Wie finde ich den Scheitelpunkt einer Parabel aus a, b und c?

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist -b/2a. Setze diesen Wert in die ursprüngliche Gleichung ein, um die zugehörige y-Koordinate c - b²/4a zu erhalten.

Quadratische-Gleichung-Rechner

Was ist Quadratische-Gleichung-Rechner?

Formel

Berechnung

Beispiel

Hauptvorteile

Häufige Fehler vermeiden

Professionelle Tipps

Wichtige Begriffe erklärt

Häufige Anwendungsfälle

Häufig gestellte Fragen

Verwandte Tools

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Was ist Quadratische-Gleichung-Rechner?

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