Matematik

Kalkulator Formula Kuadratik

Q: Apakah formula kuadratik?

Formula kuadratik ialah x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Ia menyelesaikan sebarang persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0 dengan memberikan kedua-dua punca secara terus daripada pekali a, b, dan c.

Q: Apakah maksud diskriminan negatif?

Diskriminan negatif (b² - 4ac < 0) bermaksud persamaan tidak mempunyai punca nyata — parabola tidak pernah menyentuh paksi x. Sebaliknya, ia mempunyai dua punca kompleks konjugat berbentuk p ± qi.

Q: Bolehkah a bersamaan sifar dalam persamaan kuadratik?

Tidak. Jika a = 0, sebutan x² hilang dan persamaan menjadi linear (bx + c = 0), bukan kuadratik. Formula kuadratik memerlukan a ≠ 0.

Q: Bagaimana saya mencari puncak parabola daripada a, b, dan c?

Koordinat x puncak ialah -b/2a. Gantikan nilai itu semula ke dalam persamaan asal untuk mendapatkan koordinat y yang sepadan, c - b²/4a.

Q: Bagaimana saya menyelesaikan persamaan kuadratik dengan melengkapkan kuasa dua?

Pindahkan pemalar ke sebelah kanan, tambah kuasa dua separuh pekali x pada kedua-dua belah, kemudian ambil punca kuasa dua. Untuk x² + 6x + 8 = 0, tulis semula sebagai x² + 6x = -8, tambah (6/2)² = 9 pada kedua-dua belah untuk mendapat x² + 6x + 9 = 1, yang difaktorkan sebagai (x + 3)² = 1. Mengambil punca kuasa dua memberikan x + 3 = ±1, jadi x = -3 ± 1, bermakna x = -2 dan x = -4.

Q: Bagaimana saya menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pemfaktoran?

Faktorkan persamaan kuadratik kepada dua binomial dan tetapkan setiap faktor kepada sifar. Untuk x² - 5x + 6 = 0, cari dua nombor yang didarab menjadi 6 dan ditambah menjadi -5, iaitu -2 dan -3, jadi ia difaktorkan sebagai (x - 2)(x - 3) = 0. Menetapkan setiap faktor kepada sifar memberikan x - 2 = 0 atau x - 3 = 0, maka puncanya ialah x = 2 dan x = 3. Pemfaktoran hanya berkesan apabila puncanya rasional; jika tidak, gunakan formula kuadratik.

Q: Apakah paksi simetri parabola?

Paksi simetri ialah garis menegak x = -b/2a yang membahagikan parabola kepada dua imej cermin, dan ia sentiasa melalui puncak. Untuk x² - 4x + 3 = 0, dengan a = 1 dan b = -4, paksinya ialah x = -(-4)/(2 × 1) = 2. Dua punca nyata sesuatu persamaan sentiasa berada pada jarak yang sama di kedua-dua belah garis ini.

Q: Bagaimanakah rupa punca kompleks?

Apabila diskriminan negatif, puncanya melibatkan unit khayalan i, di mana i² = -1. Untuk x² + 1 = 0, formula memberikan x = ±√(-1), ditulis sebagai x = i dan x = -i. Setiap persamaan kuadratik dengan pekali nyata mempunyai punca kompleks dalam pasangan konjugat, jadi jika a + bi ialah satu punca, maka a - bi ialah yang satu lagi, dengan hasil tambahnya 2a dan hasil darabnya a² + b².

Q: Bagaimana saya menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali pecahan atau perpuluhan?

Darabkan keseluruhan persamaan dengan penyebut sepunya untuk menghapuskan pecahan dahulu, kemudian selesaikan seperti biasa. Untuk (1/2)x² - x + 1/2 = 0, darabkan setiap sebutan dengan 2 untuk mendapat x² - 2x + 1 = 0, yang difaktorkan sebagai (x - 1)² = 0. Persamaan itu kemudiannya mempunyai punca berulang x = 1. Menghapuskan pecahan mengelakkan kesilapan dan mengekalkan pekali sebagai integer mudah.

Q: Bagaimana saya menyelesaikan persamaan perbezaan kuasa dua?

Perbezaan kuasa dua a² - b² difaktorkan sebagai (a - b)(a + b). Untuk x² - 9 = 0, anggap x² sebagai a² dan 9 sebagai b² dengan b = 3, jadi ia difaktorkan sebagai (x - 3)(x + 3) = 0. Menetapkan setiap faktor kepada sifar memberikan x - 3 = 0 atau x + 3 = 0, maka puncanya ialah x = 3 dan x = -3. Corak ini boleh diselesaikan serta-merta tanpa formula kuadratik.

Selesaikan sebarang persamaan kuadratik serta-merta dengan kalkulator percuma kami. Menunjukkan diskriminan, punca nyata atau kompleks, puncak dan paksi simetri dengan penyelesaian langkah demi langkah.

Pekali a

Pekali b

Pekali c

Jenis Punca

—

Diskriminan

x₁

x₂

Puncak

(0, 0)

Paksi Simetri

x = 0

Adakah kalkulator ini membantu anda?

Apakah Kalkulator Formula Kuadratik?

Persamaan kuadratik mempunyai bentuk piawai ax² + bx + c = 0, dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a ≠ 0. Ia dipanggil "kuadratik" kerana kuasa tertinggi x ialah 2. Persamaan kuadratik menggambarkan parabola — lengkung berbentuk U — dan muncul di seluruh algebra, fizik, kejuruteraan, dan penyelesaian masalah harian, daripada mengira lintasan projektil hingga mengoptimumkan luas dan keuntungan. Kalkulator ini menggunakan formula kuadratik, salah satu hasil paling penting dalam algebra, untuk mencari punca tepat bagi sebarang persamaan kuadratik, sama ada punca nyata atau kompleks.

Bila Menggunakan Kalkulator Ini

Selesaikan sebarang persamaan kuadratik berbentuk ax² + bx + c = 0 dengan cepat dan tepat
Tentukan bilangan dan jenis punca daripada diskriminan sebelum menyelesaikan
Cari puncak dan paksi simetri parabola tanpa melukis graf
Semak kerja rumah algebra, jawapan peperiksaan, dan soalan latihan yang dikerjakan dengan tangan
Membina model gerakan projektil, pengoptimuman luas, dan fungsi keuntungan dalam matematik gunaan
Bersedia untuk peperiksaan piawai seperti SAT, ACT, dan GCSE

Langkah:

Masukkan pekali a, b, dan c bagi persamaan ax² + bx + c = 0 anda.
Kalkulator mengira diskriminan (b² - 4ac) untuk menentukan jenis punca.
Formula kuadratik digunakan untuk mencari nilai punca yang tepat.
Semak penyelesaian lengkap langkah demi langkah, ditambah puncak dan paksi simetri.

Rumus

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a Diskriminan: Δ = b² - 4ac Jika Δ > 0: dua punca nyata berbeza Jika Δ = 0: satu punca nyata berulang Jika Δ < 0: dua punca kompleks konjugat Puncak: x = -b/2a, y = c - b²/4a

Kes Penggunaan

Menyelesaikan dan menyemak kerja rumah algebra
Mencari puncak lintasan dan titik pendaratan projektil dalam fizik
Mengoptimumkan fungsi luas, keuntungan, atau hasil dalam perniagaan dan kejuruteraan
Bersedia untuk peperiksaan piawai

Faedah Utama

Punca segera dan tepat untuk sebarang persamaan kuadratik
Mengendalikan punca nyata dan kompleks secara automatik
Penyelesaian langkah demi langkah yang lengkap, bukan hanya jawapan akhir
Turut menunjukkan puncak dan paksi simetri

Tips Pro

Jika a, b, dan c semuanya boleh dibahagi dengan faktor sepunya, permudahkan persamaan dahulu
Semak jawapan anda dengan menggantikan setiap punca kembali ke persamaan asal
Cara pantas menganggarkan tanda punca nyata: jika a dan c mempunyai tanda bertentangan, diskriminan pasti positif
Hasil tambah punca sentiasa -b/a, dan hasil darab sentiasa c/a

Kesilapan Biasa

Terlupa tanda ± yang hanya menghasilkan satu daripada dua punca
Mengelirukan tanda b dan c semasa menggantikan ke dalam formula
Menganggap diskriminan negatif bermaksud "tiada penyelesaian" bukannya "penyelesaian kompleks"
Membahagi dengan salah oleh 2a apabila a negatif

Istilah Utama

Diskriminan: Ungkapan b² - 4ac yang menentukan sifat punca
Punca: Nilai x yang memenuhi persamaan
Puncak: Titik pusingan parabola, minimum atau maksimum
Paksi Simetri: Garis menegak x = -b/2a yang menjadi cermin parabola

Konsep Berkaitan

Penyelesaian umum persamaan polinomial dikendalikan oleh Penyelesai Persamaan.
Punca persamaan kuadratik ialah pintasan x yang boleh dilihat pada Kalkulator Graf.
Kuasa dan punca kuasa dua dalam formula dinilai oleh Kalkulator Eksponen.
Kecondongan garis dan lengkung yang berkaitan dengan persamaan kuadratik diukur oleh Kalkulator Kecerunan.
Titik, puncak, dan jarak pada satah koordinat dikira oleh Kalkulator Geometri Koordinat.

Contoh

Untuk x² - 3x + 2 = 0 (a=1, b=-3, c=2): diskriminan ialah (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. Oleh kerana Δ > 0, terdapat dua punca nyata: x = (3 ± 1) / 2, menghasilkan x₁ = 2 dan x₂ = 1.

Mentafsir Hasil

Diskriminan Δ = b² - 4ac ialah hasil utama. Apabila Δ > 0 parabola memotong paksi x dua kali dan terdapat dua punca nyata berbeza. Apabila Δ = 0 parabola hanya menyentuh paksi pada satu titik, menghasilkan satu punca nyata berulang. Apabila Δ < 0 tiada persilangan nyata, hanya dua punca kompleks konjugat. Punca-punca itu sendiri ialah nilai x di mana parabola memotong paksi, dan puncak yang dijumpai pada x = -b/2a terletak tepat pada paksi simetri, separuh jalan antara kedua-dua punca nyata.

Soalan Lazim

Apakah formula kuadratik?

Formula kuadratik ialah x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Ia menyelesaikan sebarang persamaan berbentuk ax² + bx + c = 0 dengan memberikan kedua-dua punca secara terus daripada pekali a, b, dan c.

Apakah maksud diskriminan negatif?

Diskriminan negatif (b² - 4ac < 0) bermaksud persamaan tidak mempunyai punca nyata — parabola tidak pernah menyentuh paksi x. Sebaliknya, ia mempunyai dua punca kompleks konjugat berbentuk p ± qi.

Bolehkah a bersamaan sifar dalam persamaan kuadratik?

Tidak. Jika a = 0, sebutan x² hilang dan persamaan menjadi linear (bx + c = 0), bukan kuadratik. Formula kuadratik memerlukan a ≠ 0.

Bagaimana saya mencari puncak parabola daripada a, b, dan c?

Koordinat x puncak ialah -b/2a. Gantikan nilai itu semula ke dalam persamaan asal untuk mendapatkan koordinat y yang sepadan, c - b²/4a.

Bagaimana saya menyelesaikan persamaan kuadratik dengan melengkapkan kuasa dua?

Pindahkan pemalar ke sebelah kanan, tambah kuasa dua separuh pekali x pada kedua-dua belah, kemudian ambil punca kuasa dua. Untuk x² + 6x + 8 = 0, tulis semula sebagai x² + 6x = -8, tambah (6/2)² = 9 pada kedua-dua belah untuk mendapat x² + 6x + 9 = 1, yang difaktorkan sebagai (x + 3)² = 1. Mengambil punca kuasa dua memberikan x + 3 = ±1, jadi x = -3 ± 1, bermakna x = -2 dan x = -4.

Bagaimana saya menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pemfaktoran?

Faktorkan persamaan kuadratik kepada dua binomial dan tetapkan setiap faktor kepada sifar. Untuk x² - 5x + 6 = 0, cari dua nombor yang didarab menjadi 6 dan ditambah menjadi -5, iaitu -2 dan -3, jadi ia difaktorkan sebagai (x - 2)(x - 3) = 0. Menetapkan setiap faktor kepada sifar memberikan x - 2 = 0 atau x - 3 = 0, maka puncanya ialah x = 2 dan x = 3. Pemfaktoran hanya berkesan apabila puncanya rasional; jika tidak, gunakan formula kuadratik.

Apakah paksi simetri parabola?

Paksi simetri ialah garis menegak x = -b/2a yang membahagikan parabola kepada dua imej cermin, dan ia sentiasa melalui puncak. Untuk x² - 4x + 3 = 0, dengan a = 1 dan b = -4, paksinya ialah x = -(-4)/(2 × 1) = 2. Dua punca nyata sesuatu persamaan sentiasa berada pada jarak yang sama di kedua-dua belah garis ini.

Bagaimanakah rupa punca kompleks?

Apabila diskriminan negatif, puncanya melibatkan unit khayalan i, di mana i² = -1. Untuk x² + 1 = 0, formula memberikan x = ±√(-1), ditulis sebagai x = i dan x = -i. Setiap persamaan kuadratik dengan pekali nyata mempunyai punca kompleks dalam pasangan konjugat, jadi jika a + bi ialah satu punca, maka a - bi ialah yang satu lagi, dengan hasil tambahnya 2a dan hasil darabnya a² + b².

Bagaimana saya menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pekali pecahan atau perpuluhan?

Darabkan keseluruhan persamaan dengan penyebut sepunya untuk menghapuskan pecahan dahulu, kemudian selesaikan seperti biasa. Untuk (1/2)x² - x + 1/2 = 0, darabkan setiap sebutan dengan 2 untuk mendapat x² - 2x + 1 = 0, yang difaktorkan sebagai (x - 1)² = 0. Persamaan itu kemudiannya mempunyai punca berulang x = 1. Menghapuskan pecahan mengelakkan kesilapan dan mengekalkan pekali sebagai integer mudah.

Bagaimana saya menyelesaikan persamaan perbezaan kuasa dua?

Perbezaan kuasa dua a² - b² difaktorkan sebagai (a - b)(a + b). Untuk x² - 9 = 0, anggap x² sebagai a² dan 9 sebagai b² dengan b = 3, jadi ia difaktorkan sebagai (x - 3)(x + 3) = 0. Menetapkan setiap faktor kepada sifar memberikan x - 3 = 0 atau x + 3 = 0, maka puncanya ialah x = 3 dan x = -3. Corak ini boleh diselesaikan serta-merta tanpa formula kuadratik.

Kaedah mana yang patut saya pilih: pemfaktoran, melengkapkan kuasa dua, atau formula?

Cuba pemfaktoran dahulu apabila puncanya kelihatan rasional dan nombornya kecil, kerana ia paling pantas. Gunakan kaedah melengkapkan kuasa dua apabila persamaan mempunyai pekali pendahulu 1 dan anda juga perlu menulis semula dalam bentuk puncak. Gunakan formula kuadratik untuk semua kes lain, kerana ia sentiasa berfungsi, termasuk untuk punca tak rasional dan kompleks. Ketiga-tiga kaedah memberikan jawapan yang sama apabila digunakan dengan betul.