Розв'яжіть будь-яке квадратне рівняння миттєво за допомогою нашого безкоштовного калькулятора. Показує дискримінант, дійсні або комплексні корені, вершину та вісь симетрії з покроковим розв'язанням.
Завантаження калькулятора...
Цей інструмент вам допоміг?
Що таке Калькулятор Квадратного Рівняння?
Квадратне рівняння має стандартний вигляд ax² + bx + c = 0, де a, b і c — константи, а a ≠ 0. Воно називається «квадратним», тому що найвищий степінь x дорівнює 2. Квадратні рівняння описують параболи — криві U-подібної форми — і трапляються всюди в алгебрі, фізиці, інженерії та розв'язанні повсякденних задач, від розрахунку траєкторій снарядів до оптимізації площ і прибутку.
Цей калькулятор використовує формулу коренів квадратного рівняння, один із найважливіших результатів алгебри, для знаходження точних коренів будь-якого квадратного рівняння, дійсних чи комплексних.
Коли використовувати цей калькулятор
Швидко та точно розв'яжіть будь-яке квадратне рівняння вигляду ax² + bx + c = 0
Визначте кількість і тип коренів за дискримінантом ще до розв'язання
Знайдіть вершину та вісь симетрії параболи без побудови графіка
Перевіряйте розв'язані вручну завдання з алгебри, відповіді на іспитах і вправи
Моделюйте рух снаряда, оптимізацію площ та функції прибутку в прикладній математиці
Готуйтеся до стандартизованих іспитів, таких як SAT, ACT і GCSE
Кроки:
Введіть коефіцієнти a, b і c вашого рівняння ax² + bx + c = 0.
Калькулятор обчислює дискримінант (b² - 4ac), щоб визначити тип коренів.
Застосовується формула коренів для знаходження точних значень коренів.
Перегляньте повне покрокове розв'язання, а також вершину та вісь симетрії.
Формула
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Дискримінант: Δ = b² - 4ac
Якщо Δ > 0: два різних дійсних корені
Якщо Δ = 0: один кратний дійсний корінь
Якщо Δ < 0: два комплексно-спряжені корені
Вершина: x = -b/2a, y = c - b²/4a
Випадки використання
Розв'язання та перевірка домашніх завдань з алгебри
Знаходження вершини траєкторії та точки приземлення снаряда у фізиці
Оптимізація функцій площі, прибутку чи виручки в бізнесі та інженерії
Підготовка до стандартизованих іспитів
Ключові переваги
Миттєві, точні корені для будь-якого квадратного рівняння
Автоматично обробляє дійсні та комплексні корені
Повне покрокове розв'язання, а не лише кінцева відповідь
Також показує вершину та вісь симетрії
Поради
Якщо a, b і c діляться на спільний множник, спочатку спростіть рівняння
Перевірте відповідь, підставивши кожен корінь назад у вихідне рівняння
Швидкий спосіб оцінити знак: якщо a і c мають протилежні знаки, дискримінант гарантовано додатний
Сума коренів завжди дорівнює -b/a, а добуток завжди дорівнює c/a
Поширені помилки
Забути знак ±, що дає лише один із двох коренів
Переплутати знаки b і c при підстановці у формулу
Вважати, що від'ємний дискримінант означає «немає розв'язку», а не «комплексні розв'язки»
Неправильне ділення на 2a, коли a від'ємне
Ключові терміни
Дискримінант: Вираз b² - 4ac, що визначає природу коренів
Корінь: Значення x, яке задовольняє рівняння
Вершина: Точка перегину параболи, мінімум або максимум
Вісь Симетрії: Вертикальна лінія x = -b/2a, відносно якої відображена парабола
Пов'язані концепції
Загальні розв'язки поліноміальних рівнянь знаходить Розв'язувач Рівнянь.
Корені квадратного рівняння — це точки перетину з віссю x, видимі на Графічному Калькуляторі.
Степені та квадратні корені у формулі обчислює Калькулятор Ступенів.
Нахил прямих і кривих, пов'язаних із квадратичними функціями, вимірює Калькулятор Нахилу.
Точки, вершини та відстані на координатній площині обчислює Калькулятор Координатної Геометрії.
Приклад
Для x² - 3x + 2 = 0 (a=1, b=-3, c=2): дискримінант дорівнює (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1. Оскільки Δ > 0, є два дійсних корені: x = (3 ± 1) / 2, тобто x₁ = 2 і x₂ = 1.
Інтерпретація результатів
Ключовим результатом є дискримінант Δ = b² - 4ac. Коли Δ > 0, парабола перетинає вісь x двічі, і є два різні дійсні корені. Коли Δ = 0, парабола лише торкається осі в одній точці, що дає один кратний дійсний корінь. Коли Δ < 0, дійсних точок перетину немає — є лише два комплексно-спряжені корені. Самі корені — це значення x, у яких парабола перетинає вісь, а вершина, що знаходиться в точці x = -b/2a, лежить точно на осі симетрії, посередині між двома дійсними коренями.
Часті запитання
Що таке формула коренів квадратного рівняння?
Формула коренів: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. Вона розв'язує будь-яке рівняння вигляду ax² + bx + c = 0, надаючи обидва корені безпосередньо з коефіцієнтів a, b і c.
Що означає від'ємний дискримінант?
Від'ємний дискримінант (b² - 4ac < 0) означає, що рівняння не має дійсних коренів — парабола ніколи не торкається осі x. Натомість вона має два комплексно-спряжені корені вигляду p ± qi.
Чи може a дорівнювати нулю в квадратному рівнянні?
Ні. Якщо a = 0, член x² зникає, і рівняння стає лінійним (bx + c = 0), а не квадратним. Формула коренів вимагає a ≠ 0.
Як знайти вершину параболи за a, b і c?
x-координата вершини дорівнює -b/2a. Підставте це значення назад у вихідне рівняння, щоб отримати відповідну y-координату, c - b²/4a.
Як розв'язати квадратне рівняння методом доповнення до квадрата?
Перенесіть вільний член праворуч, додайте до обох сторін квадрат половини коефіцієнта x, а потім візьміть квадратний корінь. Для x² + 6x + 8 = 0 перепишіть як x² + 6x = -8, додайте (6/2)² = 9 до обох сторін, отримавши x² + 6x + 9 = 1, що розкладається на (x + 3)² = 1. Після добування кореня отримуємо x + 3 = ±1, тому x = -3 ± 1, тобто x = -2 та x = -4.
Як розв'язати квадратне рівняння методом розкладання на множники?
Розкладіть квадратне рівняння на два двочлени та прирівняйте кожен множник до нуля. Для x² - 5x + 6 = 0 шукаємо два числа, які множаться до 6 і дають у сумі -5 — це -2 та -3, тому розклад має вигляд (x - 2)(x - 3) = 0. Прирівнюючи кожен множник до нуля, отримуємо x - 2 = 0 або x - 3 = 0, тому корені: x = 2 та x = 3. Розкладання на множники працює лише тоді, коли корені раціональні; в іншому разі використовуйте формулу коренів.
Що таке вісь симетрії параболи?
Вісь симетрії — це вертикальна лінія x = -b/2a, яка ділить параболу на два дзеркальні відображення і завжди проходить через вершину. Для x² - 4x + 3 = 0, де a = 1 і b = -4, вісь дорівнює x = -(-4)/(2 × 1) = 2. Два дійсні корені рівняння завжди розташовані на рівних відстанях по обидва боки цієї лінії.
Як виглядають комплексні корені?
Коли дискримінант від'ємний, корені містять уявну одиницю i, де i² = -1. Для x² + 1 = 0 формула дає x = ±√(-1), що записується як x = i та x = -i. Кожне квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексні корені спряженими парами, тому якщо a + bi є коренем, то a - bi є іншим, а їхня сума дорівнює 2a, а добуток a² + b².
Як розв'язати квадратне рівняння з дробовими або десятковими коефіцієнтами?
Спочатку помножте все рівняння на спільний знаменник, щоб позбутися дробів, а потім розв'язуйте як зазвичай. Для (1/2)x² - x + 1/2 = 0 помножте кожен член на 2, отримавши x² - 2x + 1 = 0, що розкладається на (x - 1)² = 0. Тоді рівняння має кратний корінь x = 1. Позбавлення від дробів допомагає уникнути помилок і зберігає коефіцієнти простими цілими числами.
Як розв'язати рівняння, що є різницею квадратів?
Різниця квадратів a² - b² розкладається як (a - b)(a + b). Для x² - 9 = 0 розгляньте x² як a², а 9 як b² при b = 3, тому розклад має вигляд (x - 3)(x + 3) = 0. Прирівнюючи кожен множник до нуля, отримуємо x - 3 = 0 або x + 3 = 0, тому корені: x = 3 та x = -3. Цей шаблон розв'язується миттєво, без формули коренів.
Який метод обрати: розкладання на множники, доповнення до квадрата чи формулу?
Спершу спробуйте розкладання на множники, коли корені виглядають раціональними, а числа малі, оскільки це найшвидший метод. Доповнення до квадрата використовуйте, коли коефіцієнт при x² дорівнює 1, а рівняння також потрібно записати у вершинній формі. У всіх інших випадках використовуйте формулу коренів, адже вона працює завжди, зокрема для ірраціональних і комплексних коренів. Усі три методи дають однакові відповіді при правильному застосуванні.
