حاسبة التباديل والتوافيق

احسب التباديل (nPr) والتوافيق (nCr) فوراً لأي n وr. حاسبة مجانية بنتائج دقيقة قائمة على المضروب وخطوات حل، دون فقدان الدقة للأرقام الكبيرة.

ما هي حاسبة التباديل والتوافيق؟

التباديل والتوافيق هما الطريقتان الأساسيتان لحساب عدد الطرق لاختيار أو ترتيب عناصر من مجموعة أكبر — حجر الزاوية في الاحتمالات والإحصاء والتوافيقيات.

التبديل، ويُكتب P(n,r) أو nPr، يحسب عدد طرق ترتيب r عناصر مختارة من n، حيث ترتيب الاختيار مهم. التوافيق، ويُكتب C(n,r) أو nCr، يحسب عدد طرق اختيار r عناصر من n، حيث الترتيب غير مهم. تحسب هذه الحاسبة كليهما باستخدام حساب دقيق غير محدود الدقة.

الصيغة

التبديل: P(n,r) = n! / (n-r)!

التوافيق: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)

حيث !n (مضروب n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

كيفية الحساب

أدخل n، إجمالي عدد العناصر في المجموعة.
أدخل r، عدد العناصر التي تختارها.
تحسب الحاسبة كلاً من P(n,r) وC(n,r) باستخدام صيغ المضروب.
راجع التحليل الكامل خطوة بخطوة لكل صيغة.

مثال

لـ n=10، r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 طريقة لترتيب 3 عناصر من 10 بالترتيب. C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 طريقة لاختيار 3 عناصر من 10 بغض النظر عن الترتيب.

الفوائد الرئيسية

يحسب كلاً من التباديل والتوافيق في مكان واحد
نتائج دقيقة باستخدام حساب غير محدود الدقة — لا أخطاء تقريب للأرقام الكبيرة
تحليل كامل خطوة بخطوة لصيغ المضروب
شرح واضح لمتى تُستخدم كل صيغة

الأخطاء الشائعة التي يجب تجنبها

استخدام صيغة التبديل عندما لا يهم الترتيب فعلياً في المسألة (أو العكس)
نسيان أن r لا يمكن أن يتجاوز n
الخطأ في العد عندما تسمح المسألة بالتكرار
الخلط بين رمزي nPr وnCr عند قراءة كتاب أو سؤال امتحان

نصائح احترافية

اسأل نفسك "هل الترتيب مهم؟" أولاً
للn الكبير وr الصغير، أسرع حساب C(n,r) كـn×(n-1)×...×(n-r+1) / r!
مسائل اختيار اللجنة أو الفريق تكون غالباً توافيق
مسائل الترتيب أو التصنيف تكون غالباً تباديل

شرح المصطلحات الأساسية

المضروب (!n): حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى n
التبديل: ترتيب مرتب لمجموعة فرعية من العناصر
التوافيق: اختيار غير مرتب لمجموعة فرعية من العناصر
معامل ذي الحدين: اسم آخر لـC(n,r)

حالات الاستخدام الشائعة

حساب احتمالات اليانصيب أو السحب
حل واجبات الاحتمالات والتوافيقيات
حساب كلمات المرور أو الرموز أو الترتيبات الممكنة
تحديد عدد اللجان أو الفرق أو التجمعات الممكنة

الأسئلة الشائعة

ما الفرق بين التبديل والتوافيق؟

في التبديل، الترتيب مهم — ترتيب A وB وC بشكل مختلف يُعتبر نتائج مختلفة. في التوافيق، الترتيب غير مهم — اختيار نفس مجموعة العناصر بأي ترتيب يُعتبر نتيجة واحدة.

ماذا يعني P(n,r)؟

P(n,r)، ويُكتب أيضاً nPr، هو عدد طرق ترتيب r عناصر مختارة من مجموعة n عناصر، حيث الترتيب مهم. يُحسب كـn! / (n-r)!.

ماذا يعني C(n,r)؟

C(n,r)، ويُكتب أيضاً nCr أو "n اختر r"، هو عدد طرق اختيار r عناصر من مجموعة n عناصر حيث الترتيب غير مهم. يُحسب كـn! / (r!(n-r)!).

لماذا 0! يساوي 1؟

بالاصطلاح الرياضي، 0! = 1. هذا ليس اعتباطياً — يجعل صيغ التبديل والتوافيق تعطي نتائج صحيحة.