Kalkulator Trójkąta

Rozwiąż dowolny trójkąt natychmiast. Wprowadź trzy boki (SSS), dwa boki i kąt (SAS) lub przyprostokątne trójkąta prostokątnego, aby znaleźć wszystkie kąty, boki, pole i obwód z krokami.

Czym jest Kalkulator Trójkąta?

Trójkąt jest w pełni określony, gdy znane są wystarczające boki i kąty — ten kalkulator obsługuje trzy najczęstsze przypadki. SSS (bok-bok-bok) rozwiązuje trójkąt na podstawie długości wszystkich trzech boków, wykorzystując twierdzenie cosinusów i wzór Herona. SAS (bok-kąt-bok) rozwiązuje trójkąt na podstawie dwóch boków i kąta między nimi. Tryb trójkąta prostokątnego wykorzystuje twierdzenie Pitagorasa do znalezienia przeciwprostokątnej i obu kątów ostrych na podstawie przyprostokątnych.

Bez względu na wybrany tryb, kalkulator zwraca każdy brakujący bok i kąt, pole, obwód oraz pełne rozwiązanie krok po kroku.

Wzór

Twierdzenie cosinusów: c² = a² + b² - 2ab·cos(C)

Twierdzenie sinusów: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Wzór Herona: Pole = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), gdzie s = (a+b+c)/2

Twierdzenie Pitagorasa: c² = a² + b² (tylko trójkąty prostokątne)

Pole SAS: Pole = ½ab·sin(C)

Jak obliczyć

Wybierz tryb odpowiadający temu, co wiesz: trzy boki (SSS), dwa boki i kąt zawarty (SAS), lub dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego.
Wprowadź znane wymiary.
Kalkulator rozwiązuje każdy brakujący bok i kąt, pole i obwód.
Przejrzyj pełne wyprowadzenie krok po kroku dla każdej wartości.

Przykład

Dla trójkąta o bokach a=5, b=6, c=7 (tryb SSS): kąt A ≈ 44,4°, kąt B ≈ 57,1°, kąt C ≈ 78,5°, a pole (przez wzór Herona) wynosi √(9×4×3×2) = √216 ≈ 14,7.

Kluczowe korzyści

Rozwiązuje trzy różne konfiguracje trójkąta (SSS, SAS, prostokątny)
Zwraca wszystkie boki, kąty, pole i obwód jednocześnie
Pełne rozwiązanie krok po kroku z użyciem twierdzenia cosinusów, twierdzenia sinusów i wzoru Herona
Automatycznie oznacza, czy trójkąt jest prostokątny, czy skośnokątny

Częste błędy

Mylenie stopni i radianów przy wprowadzaniu lub interpretowaniu kątów
Wprowadzanie trzech boków naruszających nierówność trójkąta (nie istnieje prawidłowy trójkąt)
Mylenie, który kąt jest "zawarty" między dwoma bokami w trybie SAS
Zapominanie, że suma kątów musi wynosić 180° przy sprawdzaniu własnej pracy

Wskazówki

W trybie SSS największy kąt zawsze leży naprzeciwko najdłuższego boku
Dla trójkąta prostokątnego możesz całkowicie pominąć twierdzenie cosinusów i użyć tylko twierdzenia Pitagorasa
Wzór Herona działa dla dowolnego trójkąta, nie tylko prostokątnego — często szybszy niż trygonometria, gdy znasz tylko boki
Sprawdź, czy twój trójkąt jest prawidłowy: suma dowolnych dwóch boków musi przekraczać trzeci

Kluczowe pojęcia

Twierdzenie cosinusów: Wiąże jeden bok z pozostałymi dwoma bokami i kątem między nimi
Twierdzenie sinusów: Wiąże każdy bok z sinusem kąta naprzeciwległego
Wzór Herona: Oblicza pole trójkąta bezpośrednio z trzech długości boków
Przeciwprostokątna: Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego, leżący naprzeciw kąta prostego

Typowe zastosowania

Rozwiązywanie zadań z geometrii i trygonometrii
Obliczanie powierzchni działki na podstawie zmierzonych wymiarów trójkątów
Inżynieria i budownictwo — znajdowanie nieznanych kątów lub odległości
Zagadnienia nawigacji i triangulacji

Najczęściej Zadawane Pytania

Jakich informacji potrzebuję, aby rozwiązać trójkąt?

Potrzebujesz co najmniej trzech informacji, w tym co najmniej jednej długości boku: trzy boki (SSS), dwa boki i kąt zawarty (SAS), dwa kąty i bok (ASA/AAS), lub dwie przyprostokątne trójkąta prostokątnego.

Jak oblicza się pole trójkąta z trzech boków?

Wzór Herona oblicza pole wyłącznie z trzech długości boków: Pole = √(s(s-a)(s-b)(s-c)), gdzie s to połowa obwodu, (a+b+c)/2.

Jaka jest różnica między twierdzeniem sinusów a twierdzeniem cosinusów?

Twierdzenie cosinusów wiąże wszystkie trzy boki z jednym kątem i jest używane, gdy znasz SSS lub SAS. Twierdzenie sinusów wiąże boki z sinusami ich kątów naprzeciwległych i zwykle jest używane, gdy znasz już jedną parę bok-kąt.

Dlaczego mój trójkąt się nie rozwiązuje — wprowadziłem trzy boki?

Trzy boki muszą spełniać nierówność trójkąta: każdy bok musi być krótszy od sumy pozostałych dwóch. Jeśli a + b ≤ c (lub podobna kombinacja), nie można utworzyć trójkąta z tymi wymiarami.