คณิตศาสตร์

เครื่องคำนวณสมการกำลังสอง

Q: สูตรกำลังสองคืออะไร?

สูตรกำลังสองคือ x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ใช้แก้สมการรูปแบบ ax² + bx + c = 0 ใดๆ โดยให้รากทั้งสองโดยตรงจากสัมประสิทธิ์ a, b และ c

Q: ดิสคริมิแนนต์เป็นลบหมายความว่าอย่างไร?

ดิสคริมิแนนต์เป็นลบ (b² - 4ac < 0) หมายความว่าสมการไม่มีรากจริง — พาราโบลาไม่สัมผัสแกน x เลย แต่จะมีรากจำนวนเชิงซ้อนสังยุคสองรากในรูปแบบ p ± qi แทน

Q: a สามารถเป็นศูนย์ในสมการกำลังสองได้หรือไม่?

ไม่ได้ ถ้า a = 0 พจน์ x² จะหายไปและสมการจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น (bx + c = 0) ไม่ใช่สมการกำลังสอง สูตรกำลังสองต้องการ a ≠ 0

Q: จะหาจุดยอดของพาราโบลาจาก a, b และ c ได้อย่างไร?

พิกัด x ของจุดยอดคือ -b/2a แทนค่านั้นกลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อหาพิกัด y ที่สอดคล้องกัน คือ c - b²/4a

Q: จะแก้สมการกำลังสองด้วยการเติมกำลังสองสมบูรณ์ได้อย่างไร?

ย้ายค่าคงที่ไปทางขวา เติมกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ลงทั้งสองข้าง จากนั้นจึงถอดรากที่สอง สำหรับ x² + 6x + 8 = 0 เขียนใหม่เป็น x² + 6x = -8 แล้วเติม (6/2)² = 9 ลงทั้งสองข้าง จะได้ x² + 6x + 9 = 1 ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น (x + 3)² = 1 ถอดรากที่สองจะได้ x + 3 = ±1 ดังนั้น x = -3 ± 1 หมายความว่า x = -2 และ x = -4

Q: จะแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบได้อย่างไร?

แยกตัวประกอบสมการกำลังสองเป็นพหุนามดีกรีสอง (ทวินาม) สองตัว แล้วกำหนดให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์ สำหรับ x² - 5x + 6 = 0 ให้หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 6 และบวกกันได้ -5 ซึ่งก็คือ -2 และ -3 ดังนั้นจึงแยกได้เป็น (x - 2)(x - 3) = 0 กำหนดให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์จะได้ x - 2 = 0 หรือ x - 3 = 0 ดังนั้นรากคือ x = 2 และ x = 3 การแยกตัวประกอบใช้ได้เฉพาะเมื่อรากเป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น มิฉะนั้นให้ใช้สูตรกำลังสอง

Q: แกนสมมาตรของพาราโบลาคืออะไร?

แกนสมมาตรคือเส้นแนวตั้ง x = -b/2a ที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วนที่สะท้อนกัน และมันจะผ่านจุดยอดเสมอ สำหรับ x² - 4x + 3 = 0 โดยที่ a = 1 และ b = -4 แกนสมมาตรคือ x = -(-4)/(2 × 1) = 2 รากจริงสองรากของสมการจะอยู่ห่างจากเส้นนี้เท่ากันเสมอทั้งสองด้าน

Q: รากจำนวนเชิงซ้อนมีหน้าตาอย่างไร?

เมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นลบ รากจะประกอบด้วยหน่วยจินตภาพ i โดยที่ i² = -1 สำหรับ x² + 1 = 0 สูตรให้ผล x = ±√(-1) เขียนเป็น x = i และ x = -i สมการกำลังสองทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะมีรากจำนวนเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุคเสมอ ดังนั้นถ้า a + bi เป็นรากหนึ่ง อีกรากหนึ่งคือ a - bi โดยผลบวกของทั้งสองคือ 2a และผลคูณคือ a² + b²

Q: จะแก้สมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วนหรือทศนิยมได้อย่างไร?

คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวส่วนร่วมเพื่อกำจัดเศษส่วนก่อน แล้วจึงแก้ตามปกติ สำหรับ (1/2)x² - x + 1/2 = 0 คูณทุกพจน์ด้วย 2 จะได้ x² - 2x + 1 = 0 ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น (x - 1)² = 0 สมการจึงมีรากซ้ำคือ x = 1 การกำจัดเศษส่วนช่วยหลีกเลี่ยงความผิดพลาดและทำให้สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอย่างง่าย

Q: จะแก้สมการแบบผลต่างกำลังสองได้อย่างไร?

ผลต่างกำลังสอง a² - b² แยกตัวประกอบได้เป็น (a - b)(a + b) สำหรับ x² - 9 = 0 ให้มอง x² เป็น a² และ 9 เป็น b² โดย b = 3 จึงแยกได้เป็น (x - 3)(x + 3) = 0 กำหนดให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์จะได้ x - 3 = 0 หรือ x + 3 = 0 ดังนั้นรากคือ x = 3 และ x = -3 รูปแบบนี้แก้ได้ทันทีโดยไม่ต้องใช้สูตรกำลังสอง

แก้สมการกำลังสองใดๆ ได้ทันทีด้วยเครื่องคำนวณฟรีของเรา แสดงดิสคริมิแนนต์ รากจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน จุดยอด และแกนสมมาตร พร้อมวิธีทำทีละขั้นตอน

สัมประสิทธิ์ a

สัมประสิทธิ์ b

สัมประสิทธิ์ c

ประเภทของราก

—

ดิสคริมิแนนต์

x₁

x₂

จุดยอด

(0, 0)

แกนสมมาตร

x = 0

เครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ไหม?

เครื่องคำนวณสมการกำลังสอง คืออะไร?

สมการกำลังสองมีรูปแบบมาตรฐาน ax² + bx + c = 0 โดยที่ a, b และ c เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0 เรียกว่า "กำลังสอง" เพราะเลขยกกำลังสูงสุดของ x คือ 2 สมการกำลังสองอธิบายพาราโบลา — เส้นโค้งรูปตัว U — และปรากฏทั่วไปในพีชคณิต ฟิสิกส์ วิศวกรรม และการแก้ปัญหาในชีวิตประจำวัน ตั้งแต่การคำนวณวิถีวัตถุที่ถูกขว้างไปจนถึงการหาค่าเหมาะสมของพื้นที่และกำไร เครื่องคำนวณนี้ใช้สูตรกำลังสอง ซึ่งเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดในพีชคณิต เพื่อหารากที่แน่นอนของสมการกำลังสองใดๆ ไม่ว่าจะเป็นรากจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อไหร่ควรใช้เครื่องคำนวณนี้

แก้สมการกำลังสองใดๆ ในรูปแบบ ax² + bx + c = 0 อย่างรวดเร็วและแม่นยำ
กำหนดจำนวนและประเภทของรากจากดิสคริมิแนนต์ก่อนลงมือแก้สมการ
หาจุดยอดและแกนสมมาตรของพาราโบลาโดยไม่ต้องวาดกราฟ
ตรวจสอบการบ้านพีชคณิตที่ทำด้วยมือ คำตอบข้อสอบ และโจทย์ฝึกฝน
สร้างแบบจำลองการเคลื่อนที่แบบโพรเจกไทล์ การหาค่าเหมาะสมของพื้นที่ และฟังก์ชันกำไรในคณิตศาสตร์ประยุกต์
เตรียมตัวสอบมาตรฐาน เช่น SAT, ACT และ GCSE

ขั้นตอน:

ป้อนสัมประสิทธิ์ a, b และ c ของสมการ ax² + bx + c = 0 ของคุณ
เครื่องคำนวณคำนวณดิสคริมิแนนต์ (b² - 4ac) เพื่อกำหนดประเภทของราก
ใช้สูตรกำลังสองเพื่อหาค่ารากที่แน่นอน
ตรวจสอบวิธีทำแบบทีละขั้นตอนทั้งหมด รวมถึงจุดยอดและแกนสมมาตร

สูตร

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ดิสคริมิแนนต์: Δ = b² - 4ac ถ้า Δ > 0: รากจริงสองรากที่แตกต่างกัน ถ้า Δ = 0: รากจริงซ้ำหนึ่งราก ถ้า Δ < 0: รากจำนวนเชิงซ้อนสังยุคสองราก จุดยอด: x = -b/2a, y = c - b²/4a

กรณีใช้งาน

แก้และตรวจสอบการบ้านพีชคณิต
หาจุดสูงสุดและจุดตกของวิถีวัตถุที่ถูกขว้างในวิชาฟิสิกส์
หาค่าเหมาะสมของฟังก์ชันพื้นที่ กำไร หรือรายได้ในธุรกิจและวิศวกรรม
เตรียมตัวสอบมาตรฐาน

ประโยชน์หลัก

รากที่แน่นอนและรวดเร็วสำหรับสมการกำลังสองใดๆ
จัดการรากจริงและจำนวนเชิงซ้อนโดยอัตโนมัติ
วิธีทำทีละขั้นตอนแบบเต็ม ไม่ใช่แค่คำตอบสุดท้าย
แสดงจุดยอดและแกนสมมาตรด้วย

เคล็ดลับ

ถ้า a, b และ c หารด้วยตัวประกอบร่วมได้ ให้ลดรูปสมการก่อน
ตรวจคำตอบโดยแทนแต่ละรากกลับเข้าไปในสมการเดิม
วิธีประมาณเครื่องหมายรากจริงอย่างรวดเร็ว: ถ้า a และ c มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน ดิสคริมิแนนต์จะเป็นบวกแน่นอน
ผลบวกของรากเท่ากับ -b/a เสมอ และผลคูณเท่ากับ c/a เสมอ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ลืมเครื่องหมาย ± ซึ่งจะได้เพียงหนึ่งในสองราก
สับสนเครื่องหมายของ b และ c เมื่อแทนค่าในสูตร
คิดว่าดิสคริมิแนนต์เป็นลบหมายถึง "ไม่มีคำตอบ" แทนที่จะเป็น "คำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน"
หารด้วย 2a ผิดพลาดเมื่อ a เป็นลบ

คำศัพท์สำคัญ

ดิสคริมิแนนต์: นิพจน์ b² - 4ac ที่กำหนดลักษณะของราก
ราก: ค่าของ x ที่ทำให้สมการเป็นจริง
จุดยอด: จุดหักเหของพาราโบลา ซึ่งเป็นค่าต่ำสุดหรือสูงสุด
แกนสมมาตร: เส้นแนวตั้ง x = -b/2a ที่พาราโบลาสะท้อนสมมาตร

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

ผลเฉลยทั่วไปของสมการพหุนามจัดการได้ด้วย เครื่องคำนวณสมการ
รากของสมการกำลังสองคือจุดตัดแกน x ที่มองเห็นได้บน เครื่องคำนวณกราฟ
เลขยกกำลังและรากที่สองภายในสูตรคำนวณได้ด้วย เครื่องคำนวณเลขยกกำลัง
ความชันของเส้นตรงและเส้นโค้งที่เกี่ยวข้องกับสมการกำลังสองวัดได้ด้วย เครื่องคำนวณความชัน
จุด จุดยอด และระยะทางบนระนาบพิกัดคำนวณได้ด้วย เครื่องคำนวณเรขาคณิตพิกัด

ตัวอย่าง

สำหรับ x² - 3x + 2 = 0 (a=1, b=-3, c=2): ดิสคริมิแนนต์คือ (-3)² - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 เนื่องจาก Δ > 0 จึงมีรากจริงสองราก: x = (3 ± 1) / 2 ได้ x₁ = 2 และ x₂ = 1

การตีความผลลัพธ์

ดิสคริมิแนนต์ Δ = b² - 4ac คือผลลัพธ์ที่สำคัญ เมื่อ Δ > 0 พาราโบลาจะตัดแกน x สองครั้งและมีรากจริงที่แตกต่างกันสองราก เมื่อ Δ = 0 พาราโบลาจะสัมผัสแกนเพียงจุดเดียว ให้รากจริงซ้ำหนึ่งราก เมื่อ Δ < 0 จะไม่มีจุดตัดจริงเลย มีเพียงรากจำนวนเชิงซ้อนสังยุคสองราก รากคือค่า x ที่พาราโบลาตัดกับแกน และจุดยอดซึ่งหาได้ที่ x = -b/2a จะอยู่บนแกนสมมาตรพอดี ตรงกึ่งกลางระหว่างรากจริงทั้งสอง

คำถามที่พบบ่อย

สูตรกำลังสองคืออะไร?

สูตรกำลังสองคือ x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a ใช้แก้สมการรูปแบบ ax² + bx + c = 0 ใดๆ โดยให้รากทั้งสองโดยตรงจากสัมประสิทธิ์ a, b และ c

ดิสคริมิแนนต์เป็นลบหมายความว่าอย่างไร?

ดิสคริมิแนนต์เป็นลบ (b² - 4ac < 0) หมายความว่าสมการไม่มีรากจริง — พาราโบลาไม่สัมผัสแกน x เลย แต่จะมีรากจำนวนเชิงซ้อนสังยุคสองรากในรูปแบบ p ± qi แทน

a สามารถเป็นศูนย์ในสมการกำลังสองได้หรือไม่?

ไม่ได้ ถ้า a = 0 พจน์ x² จะหายไปและสมการจะกลายเป็นสมการเชิงเส้น (bx + c = 0) ไม่ใช่สมการกำลังสอง สูตรกำลังสองต้องการ a ≠ 0

จะหาจุดยอดของพาราโบลาจาก a, b และ c ได้อย่างไร?

พิกัด x ของจุดยอดคือ -b/2a แทนค่านั้นกลับเข้าไปในสมการเดิมเพื่อหาพิกัด y ที่สอดคล้องกัน คือ c - b²/4a

จะแก้สมการกำลังสองด้วยการเติมกำลังสองสมบูรณ์ได้อย่างไร?

ย้ายค่าคงที่ไปทางขวา เติมกำลังสองของครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x ลงทั้งสองข้าง จากนั้นจึงถอดรากที่สอง สำหรับ x² + 6x + 8 = 0 เขียนใหม่เป็น x² + 6x = -8 แล้วเติม (6/2)² = 9 ลงทั้งสองข้าง จะได้ x² + 6x + 9 = 1 ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น (x + 3)² = 1 ถอดรากที่สองจะได้ x + 3 = ±1 ดังนั้น x = -3 ± 1 หมายความว่า x = -2 และ x = -4

จะแก้สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบได้อย่างไร?

แยกตัวประกอบสมการกำลังสองเป็นพหุนามดีกรีสอง (ทวินาม) สองตัว แล้วกำหนดให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์ สำหรับ x² - 5x + 6 = 0 ให้หาจำนวนสองจำนวนที่คูณกันได้ 6 และบวกกันได้ -5 ซึ่งก็คือ -2 และ -3 ดังนั้นจึงแยกได้เป็น (x - 2)(x - 3) = 0 กำหนดให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์จะได้ x - 2 = 0 หรือ x - 3 = 0 ดังนั้นรากคือ x = 2 และ x = 3 การแยกตัวประกอบใช้ได้เฉพาะเมื่อรากเป็นจำนวนตรรกยะเท่านั้น มิฉะนั้นให้ใช้สูตรกำลังสอง

แกนสมมาตรของพาราโบลาคืออะไร?

แกนสมมาตรคือเส้นแนวตั้ง x = -b/2a ที่แบ่งพาราโบลาออกเป็นสองส่วนที่สะท้อนกัน และมันจะผ่านจุดยอดเสมอ สำหรับ x² - 4x + 3 = 0 โดยที่ a = 1 และ b = -4 แกนสมมาตรคือ x = -(-4)/(2 × 1) = 2 รากจริงสองรากของสมการจะอยู่ห่างจากเส้นนี้เท่ากันเสมอทั้งสองด้าน

รากจำนวนเชิงซ้อนมีหน้าตาอย่างไร?

เมื่อดิสคริมิแนนต์เป็นลบ รากจะประกอบด้วยหน่วยจินตภาพ i โดยที่ i² = -1 สำหรับ x² + 1 = 0 สูตรให้ผล x = ±√(-1) เขียนเป็น x = i และ x = -i สมการกำลังสองทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะมีรากจำนวนเชิงซ้อนเป็นคู่สังยุคเสมอ ดังนั้นถ้า a + bi เป็นรากหนึ่ง อีกรากหนึ่งคือ a - bi โดยผลบวกของทั้งสองคือ 2a และผลคูณคือ a² + b²

จะแก้สมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นเศษส่วนหรือทศนิยมได้อย่างไร?

คูณสมการทั้งหมดด้วยตัวส่วนร่วมเพื่อกำจัดเศษส่วนก่อน แล้วจึงแก้ตามปกติ สำหรับ (1/2)x² - x + 1/2 = 0 คูณทุกพจน์ด้วย 2 จะได้ x² - 2x + 1 = 0 ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น (x - 1)² = 0 สมการจึงมีรากซ้ำคือ x = 1 การกำจัดเศษส่วนช่วยหลีกเลี่ยงความผิดพลาดและทำให้สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มอย่างง่าย

จะแก้สมการแบบผลต่างกำลังสองได้อย่างไร?

ผลต่างกำลังสอง a² - b² แยกตัวประกอบได้เป็น (a - b)(a + b) สำหรับ x² - 9 = 0 ให้มอง x² เป็น a² และ 9 เป็น b² โดย b = 3 จึงแยกได้เป็น (x - 3)(x + 3) = 0 กำหนดให้แต่ละตัวประกอบเท่ากับศูนย์จะได้ x - 3 = 0 หรือ x + 3 = 0 ดังนั้นรากคือ x = 3 และ x = -3 รูปแบบนี้แก้ได้ทันทีโดยไม่ต้องใช้สูตรกำลังสอง

ควรเลือกวิธีใดระหว่างการแยกตัวประกอบ การเติมกำลังสองสมบูรณ์ หรือสูตรกำลังสอง?

ลองแยกตัวประกอบก่อนเมื่อรากดูเหมือนเป็นจำนวนตรรกยะและตัวเลขมีค่าน้อย เพราะเป็นวิธีที่เร็วที่สุด ใช้การเติมกำลังสองสมบูรณ์เมื่อสมการมีสัมประสิทธิ์นำเป็น 1 และคุณจำเป็นต้องเขียนสมการใหม่ในรูปจุดยอดด้วย ส่วนกรณีอื่นๆ ทั้งหมดให้ใช้สูตรกำลังสอง เพราะใช้ได้เสมอ รวมถึงรากอตรรกยะและรากจำนวนเชิงซ้อน ทั้งสามวิธีให้คำตอบที่เหมือนกันทุกประการเมื่อใช้อย่างถูกต้อง

ค้นพบเครื่องมือเพิ่มเติม

คัดสรรใหม่จากคลังเครื่องมือทั้งหมดของเรา