เครื่องคำนวณเวกเตอร์

คำนวณผลคูณจุด ผลคูณไขว้ ขนาด และมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวได้ทันที พร้อมแผนภาพเคลื่อนไหวสดที่แสดงให้เห็นทิศทางของเวกเตอร์ในปริภูมิอย่างชัดเจน

เครื่องคำนวณเวกเตอร์ คืออะไร?

เครื่องคำนวณเวกเตอร์ทำการคำนวณพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์ ได้แก่ ผลคูณจุด ผลคูณไขว้ ขนาด และมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว เวกเตอร์ใช้อธิบายปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น ความเร็ว แรง การกระจัด และความเร่ง ล้วนเป็นเวกเตอร์ทั้งสิ้น จึงทำให้คณิตศาสตร์เวกเตอร์มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อฟิสิกส์ วิศวกรรม กราฟิก 3 มิติ หุ่นยนต์ และการเรียนรู้ของเครื่อง

ผลคูณจุดวัดว่าเวกเตอร์สองตัวมีทิศทางสอดคล้องกันมากเพียงใด และใช้ในการคำนวณงานที่เกิดจากแรงหรือใช้ทดสอบความตั้งฉาก ส่วนผลคูณไขว้ให้เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองตัวตั้งต้น และใช้ในการหาแรงบิด โมเมนตัมเชิงมุม และเวกเตอร์ปกติของพื้นผิวในกราฟิก 3 มิติ เครื่องคำนวณนี้คำนวณค่าทั้งหมดนี้ได้ทันทีและวาดแผนภาพ 2 มิติเคลื่อนไหวของเวกเตอร์ของคุณ เพื่อให้คุณเห็นรูปทรงเรขาคณิต ไม่ใช่เพียงตัวเลข

สูตร

ผลคูณจุด: A·B = AxBx + AyBy + AzBz

ผลคูณไขว้: A×B = (AyBz − AzBy, AzBx − AxBz, AxBy − AyBx)

ขนาด: |A| = √(Ax² + Ay² + Az²)

มุม: θ = arccos( (A·B) / (|A|·|B|) )

วิธีคำนวณ

ป้อนองค์ประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์ A
ป้อนองค์ประกอบ x, y และ z ของเวกเตอร์ B (ปล่อย z เป็น 0 สำหรับเวกเตอร์ 2 มิติ)
ดูผลคูณจุด ผลคูณไขว้ ขนาดของแต่ละเวกเตอร์ และมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองได้ทันที
สังเกตแผนภาพเคลื่อนไหวที่วาดใหม่เพื่อแสดงทิศทางของเวกเตอร์ทั้งสองเมื่อเทียบกัน

ตัวอย่าง

สำหรับ A = (3, 2, 0) และ B = (1, 4, 0): ผลคูณจุดคือ 3×1 + 2×4 = 11 ขนาดของ A คือ √13 ≈ 3.61 ขนาดของ B คือ √17 ≈ 4.12 และมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองประมาณ 42°

ประโยชน์หลัก

คำนวณผลคูณจุด ผลคูณไขว้ ขนาด และมุมได้ทันทีในที่เดียว
แผนภาพเคลื่อนไหวแสดงความสัมพันธ์เชิงเรขาคณิต ไม่ใช่แค่ตัวเลข
ใช้ได้ทั้งกับเวกเตอร์ 2 มิติ (z = 0) และเวกเตอร์ 3 มิติเต็มรูปแบบ
ไม่ต้องคำนวณตรีโกณมิติหรือรากที่สองด้วยมือ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

สับสนระหว่างผลคูณจุด (สเกลาร์) กับผลคูณไขว้ (เวกเตอร์)
ลืมว่าผลคูณไขว้ใช้ได้เฉพาะกับเวกเตอร์ 3 มิติเท่านั้น ไม่ใช่ 2 มิติ
ใช้หน่วยองศากับเรเดียนไม่สอดคล้องกันเมื่อคำนวณมุมด้วยมือ
เข้าใจผิดว่าผลคูณไขว้เป็นศูนย์หมายถึงเวกเตอร์ไม่มีความสัมพันธ์กัน ทั้งที่จริงแล้วหมายถึงเวกเตอร์ทั้งสองขนานกัน

เคล็ดลับ

ผลคูณจุดเป็นศูนย์บอกได้ทันทีว่าเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ไม่จำเป็นต้องคำนวณมุม
ผลคูณไขว้ที่เป็นเวกเตอร์ศูนย์บอกได้ว่าเวกเตอร์ทั้งสองขนานกัน (หรือตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์)
สำหรับโจทย์ 2 มิติ เพียงปล่อย z เป็น 0 สูตรก็ยังคงใช้ได้ถูกต้อง
ใช้กฎมือขวาเพื่อคาดการณ์ทิศทางของผลคูณไขว้ก่อนตรวจสอบผลลัพธ์ที่คำนวณได้

คำศัพท์สำคัญ

สเกลาร์ (Scalar): จำนวนตัวเดียวที่มีขนาดแต่ไม่มีทิศทาง เช่นผลลัพธ์ของผลคูณจุด
ขนาด (Magnitude): ความยาวของเวกเตอร์ คำนวณด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ตั้งฉาก (Orthogonal): คำที่ใช้แทนความหมายเดียวกับตั้งฉาก ใช้เมื่อผลคูณจุดเป็นศูนย์
กฎมือขวา (Right-hand rule): หลักการที่ใช้กำหนดทิศทางของผลคูณไขว้

กรณีใช้งานทั่วไป

การคำนวณงานที่เกิดจากแรงโดยใช้ผลคูณจุดในโจทย์ฟิสิกส์
การหาเวกเตอร์ปกติของพื้นผิวสำหรับการคำนวณแสงในกราฟิกคอมพิวเตอร์ 3 มิติ
การคำนวณแรงบิดและโมเมนตัมเชิงมุมในวิศวกรรมเครื่องกล
การตรวจสอบว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากหรือขนานกันในวิชาพีชคณิตเชิงเส้น
การคำนวณในหุ่นยนต์และการพัฒนาเกมที่เกี่ยวข้องกับทิศทางและการวางแนว

คำถามที่พบบ่อย

ผลคูณจุดกับผลคูณไขว้ต่างกันอย่างไร?

ผลคูณจุดให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนสเกลาร์ตัวเดียวที่บ่งบอกว่าเวกเตอร์สองตัวชี้ไปในทิศทางเดียวกันมากเพียงใด โดยมีค่าเป็นศูนย์เมื่อทั้งสองตั้งฉากกัน ส่วนผลคูณไขว้ให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสองตัวตั้งต้น โดยมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ทั้งสองสร้างขึ้น

หามุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวได้อย่างไร?

นำผลคูณจุดของเวกเตอร์ทั้งสองหารด้วยผลคูณของขนาดทั้งสอง แล้วหาค่าโคไซน์ผกผัน (arccos) ของอัตราส่วนนั้น ผลลัพธ์คือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสองในหน่วยองศาหรือเรเดียน

ผลคูณจุดเท่ากับศูนย์หมายความว่าอย่างไร?

ผลคูณจุดที่เท่ากับศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉาก (orthogonal) ซึ่งกันและกัน คือไม่มีองค์ประกอบของเวกเตอร์หนึ่งอยู่ในทิศทางของอีกเวกเตอร์หนึ่งเลย

สามารถใช้เครื่องคำนวณนี้กับเวกเตอร์ 2 มิติได้หรือไม่?

ได้ เพียงแค่ปล่อยให้องค์ประกอบ z เป็น 0 สำหรับเวกเตอร์ทั้งสองตัว เครื่องคำนวณจะทำงานเหมือนเครื่องคำนวณเวกเตอร์ 2 มิติทุกประการ รวมถึงแผนภาพที่จะวาดบนระนาบ x-y เสมอ