คณิตศาสตร์

เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่

คำนวณการเรียงสับเปลี่ยน (nPr) และการจัดหมู่ (nCr) ทันทีสำหรับ n และ r ใดๆ เครื่องคำนวณฟรีพร้อมผลลัพธ์แฟกทอเรียลที่แม่นยำและวิธีทำทีละขั้นตอน ไม่สูญเสียความแม่นยำสำหรับตัวเลขจำนวนมาก

n (จำนวนทั้งหมด)

r (จำนวนที่เลือก)

ป้อนจำนวนเต็มที่ n ≥ r ≥ 0

การเรียงสับเปลี่ยน P(n,r)

การจัดหมู่ C(n,r)

การเรียงสับเปลี่ยน กับ การจัดหมู่

• การเรียงสับเปลี่ยน: ลำดับมีความสำคัญ การจัดคน 3 คนให้อยู่ในอันดับที่ 1, 2 และ 3 นับ "A, B, C" และ "B, A, C" เป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน

• การจัดหมู่: ลำดับไม่มีความสำคัญ การเลือกคน 3 คนสำหรับคณะกรรมการ นับ "A, B, C" และ "B, A, C" เป็นผลลัพธ์เดียวกัน

เครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ไหม?

เครื่องคำนวณการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ คืออะไร?

การเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่เป็นวิธีพื้นฐานสองวิธีในการนับจำนวนวิธีที่คุณสามารถเลือกหรือจัดเรียงรายการจากชุดที่ใหญ่กว่า — รากฐานของความน่าจะเป็น สถิติ และการนับเชิงผสม การเรียงสับเปลี่ยน เขียนเป็น P(n,r) หรือ nPr นับจำนวนวิธีในการจัดเรียง r รายการที่เลือกจาก n โดยลำดับการเลือกมีความสำคัญ การจัดหมู่ เขียนเป็น C(n,r) หรือ nCr นับจำนวนวิธีในการเลือก r รายการจาก n โดยลำดับไม่มีความสำคัญ เครื่องคำนวณนี้คำนวณทั้งสองอย่างโดยใช้เลขคณิตที่แม่นยำแบบความแม่นยำตามต้องการ

เมื่อไหร่ควรใช้เครื่องคำนวณนี้

นับจำนวนการจัดเรียง รหัสผ่าน ตารางเวลา หรือลำดับการจัดอันดับที่เป็นไปได้
หาจำนวนคณะกรรมการ ทีม หรือการเลือกที่สามารถจัดตั้งขึ้นได้จากกลุ่ม
คำนวณอัตราต่อรองของลอตเตอรี่ การจับสลาก หรือการแข่งขันโดยนับผลลัพธ์ที่ต้องการ
กระจายพจน์ทวินามและอ่านค่าสัมประสิทธิ์จากสามเหลี่ยมปาสกาล
แก้โจทย์การบ้านความน่าจะเป็นและการนับเชิงผสมทีละขั้นตอน
ตรวจสอบจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดในเกมเสี่ยงโชคก่อนคำนวณความน่าจะเป็น

ขั้นตอน:

ป้อน n จำนวนรายการทั้งหมดในชุด
ป้อน r จำนวนรายการที่คุณกำลังเลือก
เครื่องคำนวณจะคำนวณทั้ง P(n,r) และ C(n,r) โดยใช้สูตรแฟกทอเรียล
ตรวจสอบการแยกส่วนทีละขั้นตอนที่สมบูรณ์ของแต่ละสูตร

สูตร

การเรียงสับเปลี่ยน: P(n,r) = n! / (n-r)! การจัดหมู่: C(n,r) = n! / (r!(n-r)!) โดยที่ n! (แฟกทอเรียลของ n) = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

กรณีใช้งาน

คำนวณความน่าจะเป็นของลอตเตอรีหรือการจับสลาก
แก้โจทย์การบ้านความน่าจะเป็นและการนับเชิงผสม
นับรหัสผ่าน รหัส PIN หรือการจัดเรียงที่เป็นไปได้
กำหนดจำนวนคณะกรรมการ ทีม หรือกลุ่มที่เป็นไปได้

ประโยชน์หลัก

คำนวณทั้งการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ในที่เดียว
ผลลัพธ์ที่แม่นยำโดยใช้เลขคณิตความแม่นยำตามต้องการ — ไม่มีข้อผิดพลาดจากการปัดเศษสำหรับตัวเลขจำนวนมาก
การแยกส่วนทีละขั้นตอนที่สมบูรณ์ของสูตรแฟกทอเรียล
คำอธิบายที่ชัดเจนว่าเมื่อใดควรใช้สูตรใด

เคล็ดลับ

ถามตัวเองก่อนว่า "ลำดับมีความสำคัญหรือไม่?"
สำหรับ n ที่มากและ r ที่น้อย การคำนวณ C(n,r) เป็น n×(n-1)×...×(n-r+1) / r! จะเร็วกว่า
โจทย์การเลือกคณะกรรมการ ทีม หรือกลุ่มมักจะเป็นการจัดหมู่เสมอ
โจทย์การจัดอันดับ การจัดเรียง หรือลำดับมักจะเป็นการเรียงสับเปลี่ยนเสมอ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ใช้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนเมื่อลำดับไม่มีความสำคัญจริงๆ ในโจทย์ (หรือในทางกลับกัน)
ลืมว่า r ต้องไม่เกิน n
นับผิดเมื่อโจทย์อนุญาตให้ทำซ้ำ
สับสนสัญกรณ์ nPr และ nCr เมื่ออ่านตำราหรือโจทย์สอบ

คำศัพท์สำคัญ

แฟกทอเรียล (n!): ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดจนถึง n
การเรียงสับเปลี่ยน: การจัดเรียงแบบมีลำดับของเซตย่อยของรายการ
การจัดหมู่: การเลือกแบบไม่มีลำดับของเซตย่อยของรายการ
สัมประสิทธิ์ทวินาม: อีกชื่อหนึ่งของ C(n,r)

แนวคิดที่เกี่ยวข้อง

คำถามความน่าจะเป็นที่สร้างจากผลลัพธ์ที่นับแล้วตอบได้โดย เครื่องคำนวณความน่าจะเป็น
ค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และการกระจายของข้อมูลที่นับได้คำนวณโดย เครื่องคำนวณสถิติ
การทดลองเสี่ยงเช่นการโยนเหรียญจำลองได้โดย เครื่องจำลองการโยนเหรียญ
การสุ่มตัวเลขและจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดของตัวเลขนั้นสร้างโดย เครื่องสร้างตัวเลขลอตเตอรี่
การเปรียบเทียบแบบส่วนต่อทั้งหมดและสัดส่วนคำนวณโดย เครื่องคำนวณอัตราส่วน

ตัวอย่าง

สำหรับ n=10, r=3: P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10 × 9 × 8 = 720 วิธีในการจัดเรียง 3 รายการจาก 10 ตามลำดับ C(10,3) = 10!/(3!×7!) = 720/6 = 120 วิธีในการเลือก 3 รายการจาก 10 โดยไม่คำนึงถึงลำดับ

การตีความผลลัพธ์

อ่านการเรียงสับเปลี่ยน P(n,r) ว่าเป็นจำนวนการจัดเรียงแบบมีลำดับของ r รายการที่เลือกจาก n โดยการสลับสิ่งของสองชิ้นที่เลือกจะสร้างผลลัพธ์ใหม่ อ่านการจัดหมู่ C(n,r) ว่าเป็นจำนวนการเลือกแบบไม่มีลำดับ โดยเซตของสิ่งของชุดเดียวกันนับเพียงครั้งเดียวไม่ว่าลำดับจะเป็นอย่างไร ผลลัพธ์ที่มากขึ้นหมายถึงมีผลลัพธ์ที่แตกต่างกันได้มากขึ้น ซึ่งทำให้ความน่าจะเป็นของผลลัพธ์เดียวแต่ละผลลัพธ์ลดลงเมื่อทุกผลลัพธ์มีโอกาสเท่ากัน เมื่อ r ใกล้กับ n ค่า C(n,r) จะเท่ากับ C(n, n-r) และคงมีค่าน้อย ในขณะที่เมื่อ r อยู่ตรงกลาง ค่านับจะสูงสุด

คำถามที่พบบ่อย

ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่คืออะไร?

ในการเรียงสับเปลี่ยน ลำดับมีความสำคัญ — การจัดเรียง A, B, C ต่างกันนับเป็นผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน ในการจัดหมู่ ลำดับไม่มีความสำคัญ — การเลือกชุดรายการเดียวกันในลำดับใดก็ตามนับเป็นผลลัพธ์เดียว

P(n,r) หมายความว่าอย่างไร?

P(n,r) หรือเขียนเป็น nPr คือจำนวนวิธีในการจัดเรียง r รายการที่เลือกจากชุด n รายการ โดยลำดับการเลือกมีความสำคัญ คำนวณเป็น n! / (n-r)!

C(n,r) หมายความว่าอย่างไร?

C(n,r) หรือเขียนเป็น nCr หรือ "n เลือก r" คือจำนวนวิธีในการเลือก r รายการจากชุด n รายการ โดยลำดับไม่มีความสำคัญ คำนวณเป็น n! / (r!(n-r)!)

เหตุใด 0! จึงเท่ากับ 1?

ตามธรรมเนียมทางคณิตศาสตร์ 0! = 1 สิ่งนี้ไม่ได้กำหนดขึ้นเอง — แต่ทำให้สูตรการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ให้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง

ฉันจะนับจำนวนการจัดเรียงเมื่อให้สิ่งของซ้ำได้อย่างไร

เมื่ออนุญาตให้ทำซ้ำได้ แต่ละตำแหน่งมีตัวเลือก n ตัว ดังนั้นจำนวนการจัดเรียงแบบมีลำดับคือ n ยกกำลัง r เขียนเป็น n^r ตัวอย่างเช่น รหัส PIN 4 หลักที่ตัวเลขซ้ำได้จะให้รหัสที่เป็นไปได้ 10^4 = 10000 รหัส เพราะแต่ละตำแหน่งจากทั้งหมด 4 ตำแหน่งมีตัวเลือกตัวเลข 10 ตัว (0 ถึง 9) วิธีนี้จะนับจำนวนการจัดเรียงได้มากกว่าสูตรการเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปซึ่งไม่อนุญาตให้ทำซ้ำ

ฉันจะจัดเรียงสิ่งของทุกชิ้นในเซตได้อย่างไร

การจัดเรียงสิ่งของ n ชิ้นทั้งหมดใช้การเรียงสับเปลี่ยนเต็มรูปแบบ n! หมายความว่า n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 ตัวอย่างเช่น หนังสือ 5 เล่มที่แตกต่างกันบนชั้นวางสามารถจัดเรียงได้ 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 วิธี ตำแหน่งแรกมีตัวเลือก 5 ตัว ตำแหน่งที่สองเหลือ 4 ตัว และต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้นจำนวนทั้งหมดจึงเป็นผลคูณของจำนวนเต็มที่ลดลงเรื่อยๆ จนถึง 1

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อ r มากกว่า n

เมื่อ r > n คุณไม่สามารถเลือกสิ่งของมากกว่าที่มีในเซตได้โดยไม่ทำซ้ำ ดังนั้นผลลัพธ์ทั้งสองจึงเป็นศูนย์: P(n,r) = 0 และ C(n,r) = 0 ตัวอย่างเช่น การเลือก 5 คนจากกลุ่มที่มี 3 คนเป็นไปไม่ได้ จึงได้การเรียงสับเปลี่ยน 0 วิธีและการจัดหมู่ 0 วิธี สูตรจะคืนค่าเป็นศูนย์โดยอัตโนมัติเพราะแฟกทอเรียลในตัวส่วนขยายตัวเกินตัวเศษ

การเลือกแบบมีและไม่มีการซ้ำต่างกันอย่างไร

การเลือกแบบมีซ้ำ (หรือแบบแทนที่ได้) หมายความว่าสิ่งของชิ้นเดียวกันสามารถเลือกซ้ำได้ ซึ่งอนุญาตให้ใช้สำหรับรหัส PIN การทอยลูกเต๋า และรหัสผ่าน การเลือกแบบไม่มีการซ้ำหมายความว่าแต่ละสิ่งของใช้ได้เพียงครั้งเดียว เช่น การเลือกผู้ชนะจากกลุ่มผู้เข้าแข่งขัน สูตรการเรียงสับเปลี่ยนและการจัดหมู่ทั่วไป P(n,r) และ C(n,r) จะถือว่าไม่มีการซ้ำเสมอ สำหรับการซ้ำ ให้ใช้ n^r สำหรับการจัดเรียงแบบมีลำดับ หรือใช้สูตรดาวและเส้น คือ C(n + r - 1, r) สำหรับการเลือกแบบไม่มีลำดับ

ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่าควรใช้การเรียงสับเปลี่ยนหรือการจัดหมู่

ให้ถามว่าลำดับของการเลือกมีความสำคัญหรือไม่ ถ้าสำคัญให้ใช้การเรียงสับเปลี่ยน ถ้าไม่สำคัญให้ใช้การจัดหมู่ การเลือกประธาน รองประธาน และเหรัญญิกจาก 10 คนเป็นการเรียงสับเปลี่ยนเพราะแต่ละตำแหน่งต่างกัน: P(10,3) = 720 การเลือกคณะกรรมการ 3 คนจากคน 10 คนเดียวกันเป็นการจัดหมู่เพราะคณะกรรมการไม่มีลำดับชั้น: C(10,3) = 120

การจัดหมู่เชื่อมโยงกับสามเหลี่ยมปาสกาลอย่างไร

แต่ละแถวของสามเหลี่ยมปาสกาลจะแสดงค่าการจัดหมู่ C(n,r) สำหรับ n คงที่ แถวที่ 4 คือ 1, 4, 6, 4, 1 ซึ่งคือ C(4,0), C(4,1), C(4,2), C(4,3) และ C(4,4) เนื่องจาก C(n,r) คือสัมประสิทธิ์ทวินาม จึงให้ค่าสัมประสิทธิ์ในการกระจายเช่น (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 ตัวเลขแต่ละตัวในสามเหลี่ยมคือผลรวมของตัวเลขสองตัวที่อยู่ด้านบน นี่คือเหตุผลที่ C(n,r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)

ฉันจะคำนวณการจัดหมู่ด้วย n ที่มากมากได้อย่างไร

ใช้สมมาตร C(n,r) = C(n, n-r) และตัดตัวประกอบร่วมเพื่อให้ตัวเลขมีขนาดเล็ก สำหรับ C(50,48) ให้ใช้ค่าที่เท่ากันคือ C(50,2) = (50 × 49)/2 = 1225 ซึ่งง่ายกว่าการกระจาย 50! โดยตรงมาก เนื่องจาก 50! มีมากกว่า 64 หลัก การตัดพจน์ก่อนคูณจึงหลีกเลี่ยงค่ากลางที่มหาศาลและให้ผลลัพธ์ที่เท่ากันทุกประการ

ค้นพบเครื่องมือเพิ่มเติม

คัดสรรใหม่จากคลังเครื่องมือทั้งหมดของเรา